Theorem zfun 3791

Description: Axiom of Union expressed with fewest number of different variables.

Assertion

Ref	Expression
zfun	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem zfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-un 3790	. 2 |- E.xA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x)
2		elequ2 1497	. . . . . . 7 |- (w = x -> (y e. w <-> y e. x))
3		elequ1 1496	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (w = x -> ((y e. w /\ w e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
5	4	cbvexv 1697	. . . . 5 |- (E.w(y e. w /\ w e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z))
6	5	imbi1i 203	. . . 4 |- ((E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
7	6	albii 1346	. . 3 |- (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
8	7	exbii 1398	. 2 |- (E.xA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
9	1, 8	mpbi 206	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  uniex2 3793  axunndlem1 6099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327

Copyright terms: Public domain