Theorem zfrep6 6758

Description: A version of the Axiom of Replacement. Normally ph would have free variables x and y. Axiom 6 of [Kunen] p. 12. The Separation Scheme ax-sep 4524 cannot be derived from this version and must be stated as a separate axiom in an axiom system (such as Kunen's) that uses this version in place of our ax-rep 4514. (Contributed by NM, 10-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfrep6	|- ( A. x e. z E! y ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Distinct variable groups:   ph, w   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem zfrep6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2322	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> E. y ph )
2	1	ralimi 2780	. . . . . 6 |- ( A. x e. z E! y ph -> A. x e. z E. y ph )
3		rabid2 2967	. . . . . 6 |- ( z = { x e. z | E. y ph } <-> A. x e. z E. y ph )
4	2, 3	sylibr 216	. . . . 5 |- ( A. x e. z E! y ph -> z = { x e. z | E. y ph } )
5		19.42v 1833	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. z /\ ph ) <-> ( x e. z /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2566	. . . . . 6 |- { x | E. y ( x e. z /\ ph ) } = { x | ( x e. z /\ E. y ph ) }
7		dmopab 5044	. . . . . 6 |- dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. z /\ ph ) }
8		df-rab 2745	. . . . . 6 |- { x e. z | E. y ph } = { x | ( x e. z /\ E. y ph ) }
9	6, 7, 8	3eqtr4i 2482	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = { x e. z | E. y ph }
10	4, 9	syl6reqr 2503	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = z )
11		vex 3047	. . . 4 |- z e. _V
12	10, 11	syl6eqel 2536	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V )
13		eumo 2327	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> E* y ph )
14	13	imim2i 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> E! y ph ) -> ( x e. z -> E* y ph ) )
15		moanimv 2359	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. z /\ ph ) <-> ( x e. z -> E* y ph ) )
16	14, 15	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> E! y ph ) -> E* y ( x e. z /\ ph ) )
17	16	alimi 1683	. . . 4 |- ( A. x ( x e. z -> E! y ph ) -> A. x E* y ( x e. z /\ ph ) )
18		df-ral 2741	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph <-> A. x ( x e. z -> E! y ph ) )
19		funopab 5614	. . . 4 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. z /\ ph ) )
20	17, 18, 19	3imtr4i 270	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
21		funrnex 6757	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V -> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V ) )
22	12, 20, 21	sylc 62	. 2 |- ( A. x e. z E! y ph -> ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V )
23		nfra1 2768	. . 3 |- F/ x A. x e. z E! y ph
24	10	eleq2d 2513	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph -> ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> x e. z ) )
25		opabid 4707	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> ( x e. z /\ ph ) )
26		vex 3047	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
27		vex 3047	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
28	26, 27	opelrn 5065	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
29	25, 28	sylbir 217	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ ph ) -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
30	29	ex 436	. . . . . . 7 |- ( x e. z -> ( ph -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ) )
31	30	impac 626	. . . . . 6 |- ( ( x e. z /\ ph ) -> ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
32	31	eximi 1706	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. z /\ ph ) -> E. y ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
33	7	abeq2i 2562	. . . . 5 |- ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> E. y ( x e. z /\ ph ) )
34		df-rex 2742	. . . . 5 |- ( E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph <-> E. y ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
35	32, 33, 34	3imtr4i 270	. . . 4 |- ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph )
36	24, 35	syl6bir 233	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> ( x e. z -> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
37	23, 36	ralrimi 2787	. 2 |- ( A. x e. z E! y ph -> A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph )
38		nfopab1 4468	. . . . . 6 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
39	38	nfrn 5076	. . . . 5 |- F/_ x ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
40	39	nfeq2 2606	. . . 4 |- F/ x w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
41		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ y w
42		nfopab2 4469	. . . . . 6 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
43	42	nfrn 5076	. . . . 5 |- F/_ y ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
44	41, 43	rexeqf 2983	. . . 4 |- ( w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ( E. y e. w ph <-> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
45	40, 44	ralbid 2821	. . 3 |- ( w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ( A. x e. z E. y e. w ph <-> A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
46	45	spcegv 3134	. 2 |- ( ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V -> ( A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph ) )
47	22, 37, 46	sylc 62	1 |- ( A. x e. z E! y ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1441   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   E!weu 2298   E*wmo 2299   {cab 2436   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   <.cop 3973   {copab 4459   dom cdm 4833   ran crn 4834   Fun wfun 5575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589

This theorem is referenced by:  bnj865  29727