Theorem zfrep6 6645

Description: A version of the Axiom of Replacement. Normally ph would have free variables x and y. Axiom 6 of [Kunen] p. 12. The Separation Scheme ax-sep 4511 cannot be derived from this version and must be stated as a separate axiom in an axiom system (such as Kunen's) that uses this version in place of our ax-rep 4501. (Contributed by NM, 10-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfrep6	|- ( A. x e. z E! y ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Distinct variable groups:   ph, w   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem zfrep6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2288	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> E. y ph )
2	1	ralimi 2811	. . . . . 6 |- ( A. x e. z E! y ph -> A. x e. z E. y ph )
3		rabid2 2994	. . . . . 6 |- ( z = { x e. z | E. y ph } <-> A. x e. z E. y ph )
4	2, 3	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. x e. z E! y ph -> z = { x e. z | E. y ph } )
5		19.42v 1933	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. z /\ ph ) <-> ( x e. z /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2585	. . . . . 6 |- { x | E. y ( x e. z /\ ph ) } = { x | ( x e. z /\ E. y ph ) }
7		dmopab 5148	. . . . . 6 |- dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. z /\ ph ) }
8		df-rab 2804	. . . . . 6 |- { x e. z | E. y ph } = { x | ( x e. z /\ E. y ph ) }
9	6, 7, 8	3eqtr4i 2490	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = { x e. z | E. y ph }
10	4, 9	syl6reqr 2511	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } = z )
11		vex 3071	. . . 4 |- z e. _V
12	10, 11	syl6eqel 2547	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V )
13		eumo 2293	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> E* y ph )
14	13	imim2i 14	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> E! y ph ) -> ( x e. z -> E* y ph ) )
15		moanimv 2341	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. z /\ ph ) <-> ( x e. z -> E* y ph ) )
16	14, 15	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> E! y ph ) -> E* y ( x e. z /\ ph ) )
17	16	alimi 1605	. . . 4 |- ( A. x ( x e. z -> E! y ph ) -> A. x E* y ( x e. z /\ ph ) )
18		df-ral 2800	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph <-> A. x ( x e. z -> E! y ph ) )
19		funopab 5549	. . . 4 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. z /\ ph ) )
20	17, 18, 19	3imtr4i 266	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
21		funrnex 6644	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V -> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V ) )
22	12, 20, 21	sylc 60	. 2 |- ( A. x e. z E! y ph -> ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V )
23		nfra1 2875	. . 3 |- F/ x A. x e. z E! y ph
24	10	eleq2d 2521	. . . 4 |- ( A. x e. z E! y ph -> ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> x e. z ) )
25		opabid 4694	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> ( x e. z /\ ph ) )
26		vex 3071	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
27		vex 3071	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
28	26, 27	opelrn 5169	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
29	25, 28	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ ph ) -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } )
30	29	ex 434	. . . . . . 7 |- ( x e. z -> ( ph -> y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ) )
31	30	impac 621	. . . . . 6 |- ( ( x e. z /\ ph ) -> ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
32	31	eximi 1626	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. z /\ ph ) -> E. y ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
33	7	abeq2i 2578	. . . . 5 |- ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } <-> E. y ( x e. z /\ ph ) )
34		df-rex 2801	. . . . 5 |- ( E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph <-> E. y ( y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } /\ ph ) )
35	32, 33, 34	3imtr4i 266	. . . 4 |- ( x e. dom { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph )
36	24, 35	syl6bir 229	. . 3 |- ( A. x e. z E! y ph -> ( x e. z -> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
37	23, 36	ralrimi 2815	. 2 |- ( A. x e. z E! y ph -> A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph )
38		nfopab1 4456	. . . . . 6 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
39	38	nfrn 5180	. . . . 5 |- F/_ x ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
40	39	nfeq2 2629	. . . 4 |- F/ x w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
41		nfcv 2613	. . . . 5 |- F/_ y w
42		nfopab2 4457	. . . . . 6 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
43	42	nfrn 5180	. . . . 5 |- F/_ y ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) }
44	41, 43	rexeqf 3010	. . . 4 |- ( w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ( E. y e. w ph <-> E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
45	40, 44	ralbid 2836	. . 3 |- ( w = ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } -> ( A. x e. z E. y e. w ph <-> A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph ) )
46	45	spcegv 3154	. 2 |- ( ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } e. _V -> ( A. x e. z E. y e. ran { <. x , y >. | ( x e. z /\ ph ) } ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph ) )
47	22, 37, 46	sylc 60	1 |- ( A. x e. z E! y ph -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E!weu 2260   E*wmo 2261   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068   <.cop 3981   {copab 4447   dom cdm 4938   ran crn 4939   Fun wfun 5510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629  ax-un 6472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524

This theorem is referenced by:  bnj865  32216