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Theorem zfregs2VD 33987
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 8077. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 33691 . . . . . . . 8  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  A  =/=  (/) ).
2 zfregs 8076 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
31, 2e1a 33753 . . . . . . 7  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ).
4 incom 3605 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
54eqeq1i 2389 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
65rexbii 2884 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
73, 6e1bi 33755 . . . . . 6  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) ).
8 disj1 3785 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
98rexbii 2884 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
107, 9e1bi 33755 . . . . 5  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) ).
11 alinexa 1671 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1211rexbii 2884 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1310, 12e1bi 33755 . . . 4  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
14 dfrex2 2833 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1513, 14e1bi 33755 . . 3  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
16 notnot2 112 . . . . . 6  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
17 notnot1 122 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1816, 17impbii 188 . . . . 5  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1918ralbii 2813 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
2019notbii 294 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
2115, 20e1bi 33755 . 2  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) ).
2221in1 33688 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    i^i cin 3388   (/)c0 3711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-reg 7933  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-vd1 33687
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