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Theorem zfregs2VD 31411
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 7949. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 31120 . . . . . . . 8  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  A  =/=  (/) ).
2 zfregs 7948 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
31, 2e1_ 31183 . . . . . . 7  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ).
4 incom 3540 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
54eqeq1i 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
65rexbii 2738 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
73, 6e1bi 31185 . . . . . 6  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) ).
8 disj1 3718 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
98rexbii 2738 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
107, 9e1bi 31185 . . . . 5  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) ).
11 alinexa 1635 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1211rexbii 2738 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1310, 12e1bi 31185 . . . 4  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
14 dfrex2 2726 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1513, 14e1bi 31185 . . 3  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
16 notnot2 112 . . . . . 6  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
17 notnot1 122 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1816, 17impbii 188 . . . . 5  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1918ralbii 2737 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
2019notbii 296 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
2115, 20e1bi 31185 . 2  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) ).
2221in1 31117 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324   (/)c0 3634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-reg 7803  ax-inf2 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-vd1 31116
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