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Theorem zfregs2VD 33509
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 8167. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 33219 . . . . . . . 8  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  A  =/=  (/) ).
2 zfregs 8166 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
31, 2e1a 33281 . . . . . . 7  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ).
4 incom 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
54eqeq1i 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
65rexbii 2945 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
73, 6e1bi 33283 . . . . . 6  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) ).
8 disj1 3855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
98rexbii 2945 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
107, 9e1bi 33283 . . . . 5  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) ).
11 alinexa 1650 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1211rexbii 2945 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1310, 12e1bi 33283 . . . 4  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
14 dfrex2 2894 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1513, 14e1bi 33283 . . 3  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
16 notnot2 112 . . . . . 6  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
17 notnot1 122 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1816, 17impbii 188 . . . . 5  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1918ralbii 2874 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
2019notbii 296 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
2115, 20e1bi 33283 . 2  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) ).
2221in1 33216 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    i^i cin 3460   (/)c0 3770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-reg 8021  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-vd1 33215
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