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Theorem zfregs2VD 28662
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 7625. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 28374 . . . . . . . 8  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  A  =/=  (/) ).
2 zfregs 7624 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
31, 2e1_ 28437 . . . . . . 7  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ).
4 incom 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
54eqeq1i 2411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
65rexbii 2691 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
73, 6e1bi 28439 . . . . . 6  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) ).
8 disj1 3630 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
98rexbii 2691 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
107, 9e1bi 28439 . . . . 5  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) ).
11 alinexa 1585 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1211rexbii 2691 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1310, 12e1bi 28439 . . . 4  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
14 dfrex2 2679 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1513, 14e1bi 28439 . . 3  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) ).
16 notnot2 106 . . . . . 6  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
17 notnot1 116 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1816, 17impbii 181 . . . . 5  |-  ( -. 
-.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
1918ralbii 2690 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
2019notbii 288 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
2115, 20e1bi 28439 . 2  |-  (. A  =/=  (/)  ->.  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) ).
2221in1 28371 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279   (/)c0 3588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-vd1 28370
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