MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Unicode version

Theorem zfregs2 8153
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 8152 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
2 incom 3684 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
32eqeq1i 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
43rexbii 2958 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/) )
6 disj1 3862 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
76rexbii 2958 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
85, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x
) )
9 alinexa 1635 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
109rexbii 2958 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
118, 10sylib 196 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
12 dfrex2 2908 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1311, 12sylib 196 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
14 notnot 291 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1514ralbii 2888 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1613, 15sylnibr 305 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468   (/)c0 3778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066
This theorem is referenced by:  en3lpVD  32600
  Copyright terms: Public domain W3C validator