MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Unicode version

Theorem zfregs2 8196
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 8195 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
2 incom 3632 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
32eqeq1i 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
43rexbii 2906 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/) )
6 disj1 3812 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
76rexbii 2906 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
85, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x
) )
9 alinexa 1684 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
109rexbii 2906 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
118, 10sylib 196 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
12 dfrex2 2855 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1311, 12sylib 196 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
14 notnot 289 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1514ralbii 2835 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1613, 15sylnibr 303 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413   (/)c0 3738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113
This theorem is referenced by:  en3lpVD  36675
  Copyright terms: Public domain W3C validator