Theorem zfregs2 5755

Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a non-empty class contains some element of that class. This proof was automatically generated from the virtual deduction proof zfregs2VD 16665 using a translation program. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2	|- (A =/= (/) -> -. A.x e. A E.y(y e. A /\ y e. x))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem zfregs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs 5754	. . . . . 6 |- (A =/= (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/))
2		incom 2787	. . . . . . . 8 |- (x i^i A) = (A i^i x)
3	2	eqeq1i 1891	. . . . . . 7 |- ((x i^i A) = (/) <-> (A i^i x) = (/))
4	3	rexbii 2128	. . . . . 6 |- (E.x e. A (x i^i A) = (/) <-> E.x e. A (A i^i x) = (/))
5	1, 4	sylib 215	. . . . 5 |- (A =/= (/) -> E.x e. A (A i^i x) = (/))
6		disj1 2915	. . . . . 6 |- ((A i^i x) = (/) <-> A.y(y e. A -> -. y e. x))
7	6	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. A (A i^i x) = (/) <-> E.x e. A A.y(y e. A -> -. y e. x))
8	5, 7	sylib 215	. . . 4 |- (A =/= (/) -> E.x e. A A.y(y e. A -> -. y e. x))
9		alinexa 1389	. . . . 5 |- (A.y(y e. A -> -. y e. x) <-> -. E.y(y e. A /\ y e. x))
10	9	rexbii 2128	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. A -> -. y e. x) <-> E.x e. A -. E.y(y e. A /\ y e. x))
11	8, 10	sylib 215	. . 3 |- (A =/= (/) -> E.x e. A -. E.y(y e. A /\ y e. x))
12		dfrex2 2116	. . 3 |- (E.x e. A -. E.y(y e. A /\ y e. x) <-> -. A.x e. A -. -. E.y(y e. A /\ y e. x))
13	11, 12	sylib 215	. 2 |- (A =/= (/) -> -. A.x e. A -. -. E.y(y e. A /\ y e. x))
14		notnot2 100	. . . . 5 |- (-. -. E.y(y e. A /\ y e. x) -> E.y(y e. A /\ y e. x))
15		notnot1 102	. . . . 5 |- (E.y(y e. A /\ y e. x) -> -. -. E.y(y e. A /\ y e. x))
16	14, 15	impbii 174	. . . 4 |- (-. -. E.y(y e. A /\ y e. x) <-> E.y(y e. A /\ y e. x))
17	16	ralbii 2127	. . 3 |- (A.x e. A -. -. E.y(y e. A /\ y e. x) <-> A.x e. A E.y(y e. A /\ y e. x))
18	17	notbii 204	. 2 |- (-. A.x e. A -. -. E.y(y e. A /\ y e. x) <-> -. A.x e. A E.y(y e. A /\ y e. x))
19	13, 18	sylib 215	1 |- (A =/= (/) -> -. A.x e. A E.y(y e. A /\ y e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592  (/)c0 2875

This theorem is referenced by:  en3lp 5758  en3lpVD 16669

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain