MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Unicode version

Theorem zfregs2 8056
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 8055 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
2 incom 3643 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
32eqeq1i 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
43rexbii 2852 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/) )
6 disj1 3821 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
76rexbii 2852 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
85, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x
) )
9 alinexa 1631 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
109rexbii 2852 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
118, 10sylib 196 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
12 dfrex2 2870 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1311, 12sylib 196 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
14 notnot 291 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1514ralbii 2831 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1613, 15sylnibr 305 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    i^i cin 3427   (/)c0 3737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-reg 7910  ax-inf2 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968
This theorem is referenced by:  en3lpVD  31883
  Copyright terms: Public domain W3C validator