MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Unicode version

Theorem zfregs2 7941
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 7940 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
2 incom 3531 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  =  ( A  i^i  x
)
32eqeq1i 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  x )  =  (/) )
43rexbii 2730 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x
)  =  (/) )
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/) )
6 disj1 3709 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )
)
76rexbii 2730 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( A  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x ) )
85, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x
) )
9 alinexa 1630 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
109rexbii 2730 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  x )  <->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
118, 10sylib 196 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
12 dfrex2 2718 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1311, 12sylib 196 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
14 notnot 291 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1514ralbii 2729 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  -.  -.  E. y ( y  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1613, 15sylnibr 305 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1360    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3315   (/)c0 3625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-reg 7795  ax-inf2 7835
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852
This theorem is referenced by:  en3lpVD  31280
  Copyright terms: Public domain W3C validator