Theorem zfregs 5754

Description: The strong form of the Axiom of Regularity, which does not require that A be a set. Axiom 6' of [TakeutiZaring] p. 21. The proof makes use of a special case of Proposition 9.4 of [TakeutiZaring] p. 75.

Assertion

Ref	Expression
zfregs	|- (A =/= (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem zfregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 2884	. 2 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
2		snex 3492	. . . . 5 |- {z} e. _V
3	2	tz9.1 5753	. . . 4 |- E.y({z} C_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} C_ w /\ Tr w) -> y C_ w))
4		trel 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Tr y -> ((w e. x /\ x e. y) -> w e. y))
5		inass 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((y i^i A) i^i x) = (y i^i (A i^i x))
6		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (A i^i x) = (x i^i A)
7	6	ineq2i 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (y i^i (A i^i x)) = (y i^i (x i^i A))
8	5, 7	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((y i^i A) i^i x) = (y i^i (x i^i A))
9	8	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (w e. ((y i^i A) i^i x) <-> w e. (y i^i (x i^i A)))
10		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (w e. (y i^i (x i^i A)) <-> (w e. y /\ w e. (x i^i A)))
11	9, 10	bitr2i 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((w e. y /\ w e. (x i^i A)) <-> w e. ((y i^i A) i^i x))
12		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (w e. ((y i^i A) i^i x) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))
13	11, 12	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((w e. y /\ w e. (x i^i A)) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))
14	13	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (w e. y -> (w e. (x i^i A) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/)))
15	4, 14	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (Tr y -> ((w e. x /\ x e. y) -> (w e. (x i^i A) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
16	15	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (Tr y -> (w e. x -> (x e. y -> (w e. (x i^i A) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/)))))
17	16	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Tr y -> (w e. x -> (w e. (x i^i A) -> (x e. y -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/)))))
18	17	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Tr y -> ((w e. x /\ w e. (x i^i A)) -> (x e. y -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
19		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x i^i A) C_ x
20	19	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w e. (x i^i A) -> w e. x)
21	20	ancri 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. (x i^i A) -> (w e. x /\ w e. (x i^i A)))
22	18, 21	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Tr y -> (w e. (x i^i A) -> (x e. y -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
23	22	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Tr y -> (E.w w e. (x i^i A) -> (x e. y -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
24		n0 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x i^i A) =/= (/) <-> E.w w e. (x i^i A))
25	23, 24	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Tr y -> ((x i^i A) =/= (/) -> (x e. y -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
26	25	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Tr y -> (x e. y -> ((x i^i A) =/= (/) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/))))
27	26	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Tr y /\ x e. y) -> ((x i^i A) =/= (/) -> ((y i^i A) i^i x) =/= (/)))
28	27	necon4d 2075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Tr y /\ x e. y) -> (((y i^i A) i^i x) = (/) -> (x i^i A) = (/)))
29	28	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Tr y /\ x e. y) -> ((x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
30	29	expimpd 404	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr y -> ((x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
31		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (y i^i A) <-> (x e. y /\ x e. A))
32	31	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> ((x e. y /\ x e. A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)))
33		anass 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. y /\ x e. A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> (x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))))
34	32, 33	bitri 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> (x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))))
35	30, 34	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- (Tr y -> ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
36	35	reximdv2 2200	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (E.x e. (y i^i A)((y i^i A) i^i x) = (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
37		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
38	37	inex1 3452	. . . . . . . . . . 11 |- (y i^i A) e. _V
39	38	zfreg2 5699	. . . . . . . . . 10 |- ((y i^i A) =/= (/) -> E.x e. (y i^i A)((y i^i A) i^i x) = (/))
40	36, 39	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- (Tr y -> ((y i^i A) =/= (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
41		snssi 3129	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. A -> {z} C_ A)
42	41	anim2i 362	. . . . . . . . . . 11 |- (({z} C_ y /\ z e. A) -> ({z} C_ y /\ {z} C_ A))
43		ssin 2814	. . . . . . . . . . . 12 |- (({z} C_ y /\ {z} C_ A) <-> {z} C_ (y i^i A))
44		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
45	44	snss 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. (y i^i A) <-> {z} C_ (y i^i A))
46	43, 45	bitr4i 193	. . . . . . . . . . 11 |- (({z} C_ y /\ {z} C_ A) <-> z e. (y i^i A))
47	42, 46	sylib 215	. . . . . . . . . 10 |- (({z} C_ y /\ z e. A) -> z e. (y i^i A))
48		ne0i 2881	. . . . . . . . . 10 |- (z e. (y i^i A) -> (y i^i A) =/= (/))
49	47, 48	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (({z} C_ y /\ z e. A) -> (y i^i A) =/= (/))
50	40, 49	syl5 20	. . . . . . . 8 |- (Tr y -> (({z} C_ y /\ z e. A) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
51	50	exp3a 405	. . . . . . 7 |- (Tr y -> ({z} C_ y -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))))
52	51	impcom 378	. . . . . 6 |- (({z} C_ y /\ Tr y) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
53	52	3adant3 896	. . . . 5 |- (({z} C_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} C_ w /\ Tr w) -> y C_ w)) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
54	53	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.y({z} C_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} C_ w /\ Tr w) -> y C_ w)) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
55	3, 54	ax-mp 7	. . 3 |- (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))
56	55	19.23aiv 1674	. 2 |- (E.z z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))
57	1, 56	sylbi 216	1 |- (A =/= (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  Tr wtr 3411

This theorem is referenced by:  zfregs2 5755  setind 5759  zfregs2VD 16665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

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