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Theorem zfregcl 8100
Description: The Axiom of Regularity with class variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
zfregcl.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
zfregcl  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregcl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfregcl.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eleq2 2493 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  A ) )
32exbidv 1758 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  x  e.  z 
<->  E. x  x  e.  A ) )
4 eleq2 2493 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
54notbid 295 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  y  e.  z  <->  -.  y  e.  A ) )
65ralbidv 2862 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
76rexeqbi1dv 3032 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
83, 7imbi12d 321 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
) ) )
9 nfre1 2884 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z
10 axreg2 8099 . . . 4  |-  ( x  e.  z  ->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
11 df-ral 2778 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
1211rexbii 2925 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  z  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
13 df-rex 2779 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z )  <->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
1412, 13bitr2i 253 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  z  /\  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )  <->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
1510, 14sylib 199 . . 3  |-  ( x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
169, 15exlimi 1967 . 2  |-  ( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z 
A. y  e.  x  -.  y  e.  z
)
171, 8, 16vtocl 3130 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-ext 2398  ax-reg 8098
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ral 2778  df-rex 2779  df-v 3080
This theorem is referenced by:  zfreg  8101  zfreg2  8102  elirrv  8103
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