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Theorem zfregcl 8012
Description: The Axiom of Regularity with class variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
zfregcl.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
zfregcl  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregcl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfregcl.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eleq2 2527 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  A ) )
32exbidv 1719 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  x  e.  z 
<->  E. x  x  e.  A ) )
4 eleq2 2527 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
54notbid 292 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  y  e.  z  <->  -.  y  e.  A ) )
65ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
76rexeqbi1dv 3060 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
83, 7imbi12d 318 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
) ) )
9 nfre1 2915 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z
10 axreg2 8011 . . . 4  |-  ( x  e.  z  ->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
11 df-ral 2809 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
1211rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  z  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
13 df-rex 2810 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z )  <->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
1412, 13bitr2i 250 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  z  /\  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )  <->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
1510, 14sylib 196 . . 3  |-  ( x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
169, 15exlimi 1917 . 2  |-  ( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z 
A. y  e.  x  -.  y  e.  z
)
171, 8, 16vtocl 3158 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-ext 2432  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108
This theorem is referenced by:  zfreg  8013  zfreg2  8014  elirrv  8015
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