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Theorem zfregcl 8019
Description: The Axiom of Regularity with class variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
zfregcl.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
zfregcl  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zfregcl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfregcl.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eleq2 2540 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  A ) )
32exbidv 1690 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  x  e.  z 
<->  E. x  x  e.  A ) )
4 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
54notbid 294 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  y  e.  z  <->  -.  y  e.  A ) )
65ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
76rexeqbi1dv 3067 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A )
)
83, 7imbi12d 320 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
) ) )
9 nfre1 2925 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z
10 axreg2 8018 . . . 4  |-  ( x  e.  z  ->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
11 df-ral 2819 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
1211rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z  <->  E. x  e.  z  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )
13 df-rex 2820 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  z  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z )  <->  E. x
( x  e.  z  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z
) ) )
1412, 13bitr2i 250 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  z  /\  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  z ) )  <->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
1510, 14sylib 196 . . 3  |-  ( x  e.  z  ->  E. x  e.  z  A. y  e.  x  -.  y  e.  z )
169, 15exlimi 1859 . 2  |-  ( E. x  x  e.  z  ->  E. x  e.  z 
A. y  e.  x  -.  y  e.  z
)
171, 8, 16vtocl 3165 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-ext 2445  ax-reg 8017
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115
This theorem is referenced by:  zfreg  8020  zfreg2  8021  elirrv  8022
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