Theorem zfpair2 3525

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 3524. See zfpair 3522 for its derivation from the other axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- {x, y} e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 3524	. . . 4 |- E.zA.w((w = x \/ w = y) -> w e. z)
2	1	bm1.3ii 3441	. . 3 |- E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y))
3		dfcleq 1878	. . . . 5 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> w e. {x, y}))
4		visset 2295	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3061	. . . . . . 7 |- (w e. {x, y} <-> (w = x \/ w = y))
6	5	bibi2i 669	. . . . . 6 |- ((w e. z <-> w e. {x, y}) <-> (w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
7	6	albii 1346	. . . . 5 |- (A.w(w e. z <-> w e. {x, y}) <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
8	3, 7	bitri 190	. . . 4 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
9	8	exbii 1398	. . 3 |- (E.z z = {x, y} <-> E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
10	2, 9	mpbir 207	. 2 |- E.z z = {x, y}
11	10	issetri 2298	1 |- {x, y} e. _V

Syntax hints:   <-> wb 163   \/ wo 239  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  {cpr 3045

This theorem is referenced by:  prex 3526  pwssun 3578  fr2nr 3635  xpsspw 4093  funopg 4454  fiint 5650  brdom7disj 5966  brdom6disj 5967  fbunfip 10282  toplat 14638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-un 2600  df-sn 3049  df-pr 3050

Copyright terms: Public domain