Theorem zfnuleu 3442

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 1870 to strengthen axnul 3444).

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E.xA.y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E!xA.y -. y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E.xA.y -. y e. x
2		equid 1484	. . . . . . 7 |- y = y
3	2	nbn3 792	. . . . . 6 |- (-. y e. x <-> (y e. x <-> -. y = y))
4	3	albii 1346	. . . . 5 |- (A.y -. y e. x <-> A.y(y e. x <-> -. y = y))
5	4	exbii 1398	. . . 4 |- (E.xA.y -. y e. x <-> E.xA.y(y e. x <-> -. y = y))
6	1, 5	mpbi 206	. . 3 |- E.xA.y(y e. x <-> -. y = y)
7		ax-17 1317	. . . 4 |- (-. y = y -> A.x -. y = y)
8	7	bm1.1 1870	. . 3 |- (E.xA.y(y e. x <-> -. y = y) -> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
9	6, 8	ax-mp 7	. 2 |- E!xA.y(y e. x <-> -. y = y)
10	4	eubii 1780	. 2 |- (E!xA.y -. y e. x <-> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
11	9, 10	mpbir 207	1 |- E!xA.y -. y e. x

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771

This theorem is referenced by:  0exOLD 3447  snexOLD 3493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775

Copyright terms: Public domain