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Theorem zfnuleu 4553
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2412 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4555). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1448 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <-> F.  ) )
32albii 1687 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
43exbii 1714 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
51, 4mpbi 211 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
6 nfv 1754 . . . 4  |-  F/ x F.
76bm1.1 2412 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <-> F.  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
93eubii 2290 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
108, 9mpbir 212 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187   A.wal 1435   F. wfal 1442   E.wex 1659   E!weu 2266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271
This theorem is referenced by: (None)
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