Theorem zfinf2 5732

Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 5731 for the unabbreviated version.)

Assertion

Ref	Expression
zfinf2	|- E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 5731	. 2 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
2		0el 2891	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
3		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
4	2, 3	bitri 190	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
5		sucel 3738	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
6		df-rex 2110	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
7	5, 6	bitri 190	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
8	7	ralbii 2127	. . . . 5 |- (A.y e. x suc y e. x <-> A.y e. x E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
9		df-ral 2109	. . . . 5 |- (A.y e. x E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
10	8, 9	bitri 190	. . . 4 |- (A.y e. x suc y e. x <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
11	4, 10	anbi12i 540	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
12	11	exbii 1398	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
13	1, 12	mpbir 207	1 |- E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  (/)c0 2875  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  omex 5733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-sn 3049  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain