MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfcndun Structured version   Unicode version

Theorem zfcndun 9039
Description: Axiom of Union ax-un 6597, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndun  |-  E. y A. z ( E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndun
StepHypRef Expression
1 axunnd 9019 . 2  |-  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
2 elequ2 1875 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
3 elequ1 1873 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
42, 3anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  x ) ) )
54cbvexv 2080 . . . . 5  |-  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )
65imbi1i 326 . . . 4  |-  ( ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
76albii 1687 . . 3  |-  ( A. z ( E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
87exbii 1714 . 2  |-  ( E. y A. z ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
91, 8mpbir 212 1  |-  E. y A. z ( E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-eprel 4765  df-fr 4813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator