Theorem zfcndun 6119

Description: Axiom of Union ax-un 3790, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 6100	. 2 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		elequ2 1497	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3		elequ1 1496	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (w = y -> ((z e. w /\ w e. x) <-> (z e. y /\ y e. x)))
5	4	cbvexv 1697	. . . . 5 |- (E.w(z e. w /\ w e. x) <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
6	5	imbi1i 203	. . . 4 |- ((E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
7	6	albii 1346	. . 3 |- (A.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
8	7	exbii 1398	. 2 |- (E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
9	1, 8	mpbir 207	1 |- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625

Copyright terms: Public domain