Theorem zfcndrep 8882

Description: Axiom of Replacement ax-rep 4501, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndrep	|- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1780	. . . . . 6 |- F/ y E. y A. z ( A. y ph -> z = y )
2		nfv 1674	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. w
3		nfv 1674	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. x
4		nfa1 1833	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y A. y ph
5	3, 4	nfan 1863	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( w e. x /\ A. y A. y ph )
6	5	nfex 1883	. . . . . . . 8 |- F/ y E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph )
7	2, 6	nfbi 1869	. . . . . . 7 |- F/ y ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
8	7	nfal 1882	. . . . . 6 |- F/ y A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
9	1, 8	nfim 1855	. . . . 5 |- F/ y ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
10	9	nfex 1883	. . . 4 |- F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
11		elequ2 1763	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( w e. y <-> w e. x ) )
12	11	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
13	12	exbidv 1681	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
14	13	bibi2d 318	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
15	14	albidv 1680	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
17	16	exbidv 1681	. . . 4 |- ( y = x -> ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
18		axrepnd 8859	. . . . 5 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
19	2	19.3 1824	. . . . . . . . 9 |- ( A. y z e. w <-> z e. w )
20		nfv 1674	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z w e. y
21	20	19.3 1824	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z w e. y <-> w e. y )
22	21	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
23	22	exbii 1635	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
24	19, 23	bibi12i 315	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
25	24	albii 1611	. . . . . . 7 |- ( A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
26	25	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
27	26	exbii 1635	. . . . 5 |- ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
28	18, 27	mpbi 208	. . . 4 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
29	10, 17, 28	chvar 1966	. . 3 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
30	29	19.35i 1657	. 2 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
31		nfv 1674	. . . . 5 |- F/ w z e. y
32		nfe1 1780	. . . . 5 |- F/ w E. w ( w e. x /\ A. y ph )
33	31, 32	nfbi 1869	. . . 4 |- F/ w ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
34	33	nfal 1882	. . 3 |- F/ w A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
35		elequ2 1763	. . . . 5 |- ( w = y -> ( z e. w <-> z e. y ) )
36		nfa1 1833	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ph
37	36	19.3 1824	. . . . . . . 8 |- ( A. y A. y ph <-> A. y ph )
38	37	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y ph ) )
39	38	exbii 1635	. . . . . 6 |- ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
40	39	a1i 11	. . . . 5 |- ( w = y -> ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
41	35, 40	bibi12d 321	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
42	41	albidv 1680	. . 3 |- ( w = y -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
43	8, 34, 42	cbvex 1979	. 2 |- ( E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
44	30, 43	sylib 196	1 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629  ax-reg 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-nul 3736  df-sn 3976  df-pr 3978

This theorem is referenced by: (None)