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Theorem zfcndrep 8882
Description: Axiom of Replacement ax-rep 4501, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndrep  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep
StepHypRef Expression
1 nfe1 1780 . . . . . 6  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )
2 nfv 1674 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  e.  w
3 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  x
4 nfa1 1833 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y A. y ph
53, 4nfan 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
65nfex 1883 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
72, 6nfbi 1869 . . . . . . 7  |-  F/ y ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
87nfal 1882 . . . . . 6  |-  F/ y A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
91, 8nfim 1855 . . . . 5  |-  F/ y ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
109nfex 1883 . . . 4  |-  F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) )
11 elequ2 1763 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  x ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1312exbidv 1681 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1413bibi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1514albidv 1680 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) ) )
1716exbidv 1681 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) ) ) )
18 axrepnd 8859 . . . . 5  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
19219.3 1824 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  w  <->  z  e.  w )
20 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  w  e.  y
212019.3 1824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  w  e.  y  <->  w  e.  y )
2221anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )
2322exbii 1635 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) 
<->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)
2419, 23bibi12i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <->  ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
2524albii 1611 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2625imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2726exbii 1635 . . . . 5  |-  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )  <->  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2818, 27mpbi 208 . . . 4  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2910, 17, 28chvar 1966 . . 3  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
302919.35i 1657 . 2  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. w A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
31 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ w  z  e.  y
32 nfe1 1780 . . . . 5  |-  F/ w E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph )
3331, 32nfbi 1869 . . . 4  |-  F/ w
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
3433nfal 1882 . . 3  |-  F/ w A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
35 elequ2 1763 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
36 nfa1 1833 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y ph
373619.3 1824 . . . . . . . 8  |-  ( A. y A. y ph  <->  A. y ph )
3837anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) 
<->  ( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
3938exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) )
4135, 40bibi12d 321 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) ) )
4241albidv 1680 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  y  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) ) )
438, 34, 42cbvex 1979 . 2  |-  ( E. w A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <->  E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
4430, 43sylib 196 1  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629  ax-reg 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-nul 3736  df-sn 3976  df-pr 3978
This theorem is referenced by: (None)
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