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Theorem zfcndrep 9039
Description: Axiom of Replacement ax-rep 4515, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndrep  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep
StepHypRef Expression
1 nfe1 1918 . . . . . 6  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )
2 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  e.  w
3 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  x
4 nfa1 1979 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y A. y ph
53, 4nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
65nfex 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
72, 6nfbi 2017 . . . . . . 7  |-  F/ y ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
87nfal 2030 . . . . . 6  |-  F/ y A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
91, 8nfim 2003 . . . . 5  |-  F/ y ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
109nfex 2031 . . . 4  |-  F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) )
11 elequ2 1901 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  x ) )
1211anbi1d 711 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1312exbidv 1768 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1413bibi2d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1514albidv 1767 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1615imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) ) )
1716exbidv 1768 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) ) ) )
18 axrepnd 9019 . . . . 5  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
19 19.3v 1813 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  w  <->  z  e.  w )
20 19.3v 1813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  w  e.  y  <->  w  e.  y )
2120anbi1i 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )
2221exbii 1718 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) 
<->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)
2319, 22bibi12i 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <->  ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
2423albii 1691 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2524imbi2i 314 . . . . . 6  |-  ( ( E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2625exbii 1718 . . . . 5  |-  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )  <->  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2718, 26mpbi 212 . . . 4  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2810, 17, 27chvar 2106 . . 3  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
292819.35i 1741 . 2  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. w A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
30 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ w  z  e.  y
31 nfe1 1918 . . . . 5  |-  F/ w E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph )
3230, 31nfbi 2017 . . . 4  |-  F/ w
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
3332nfal 2030 . . 3  |-  F/ w A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
34 elequ2 1901 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
35 nfa1 1979 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y ph
363519.3 1966 . . . . . . . 8  |-  ( A. y A. y ph  <->  A. y ph )
3736anbi2i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) 
<->  ( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
3837exbii 1718 . . . . . 6  |-  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) )
4034, 39bibi12d 323 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) ) )
4140albidv 1767 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  y  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) ) )
428, 33, 41cbvex 2115 . 2  |-  ( E. w A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <->  E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
4329, 42sylib 200 1  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-reg 8107
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-nul 3732  df-sn 3969  df-pr 3971
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