Theorem zfcndrep 8983

Description: Axiom of Replacement ax-rep 4553, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndrep	|- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1784	. . . . . 6 |- F/ y E. y A. z ( A. y ph -> z = y )
2		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. w
3		nfv 1678	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. x
4		nfa1 1840	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y A. y ph
5	3, 4	nfan 1870	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( w e. x /\ A. y A. y ph )
6	5	nfex 1890	. . . . . . . 8 |- F/ y E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph )
7	2, 6	nfbi 1876	. . . . . . 7 |- F/ y ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
8	7	nfal 1889	. . . . . 6 |- F/ y A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
9	1, 8	nfim 1862	. . . . 5 |- F/ y ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
10	9	nfex 1890	. . . 4 |- F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
11		elequ2 1767	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( w e. y <-> w e. x ) )
12	11	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
13	12	exbidv 1685	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
14	13	bibi2d 318	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
15	14	albidv 1684	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
17	16	exbidv 1685	. . . 4 |- ( y = x -> ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
18		axrepnd 8960	. . . . 5 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
19	2	19.3 1831	. . . . . . . . 9 |- ( A. y z e. w <-> z e. w )
20		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z w e. y
21	20	19.3 1831	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z w e. y <-> w e. y )
22	21	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
23	22	exbii 1639	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
24	19, 23	bibi12i 315	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
25	24	albii 1615	. . . . . . 7 |- ( A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
26	25	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
27	26	exbii 1639	. . . . 5 |- ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
28	18, 27	mpbi 208	. . . 4 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
29	10, 17, 28	chvar 1977	. . 3 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
30	29	19.35i 1661	. 2 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
31		nfv 1678	. . . . 5 |- F/ w z e. y
32		nfe1 1784	. . . . 5 |- F/ w E. w ( w e. x /\ A. y ph )
33	31, 32	nfbi 1876	. . . 4 |- F/ w ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
34	33	nfal 1889	. . 3 |- F/ w A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
35		elequ2 1767	. . . . 5 |- ( w = y -> ( z e. w <-> z e. y ) )
36		nfa1 1840	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ph
37	36	19.3 1831	. . . . . . . 8 |- ( A. y A. y ph <-> A. y ph )
38	37	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y ph ) )
39	38	exbii 1639	. . . . . 6 |- ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
40	39	a1i 11	. . . . 5 |- ( w = y -> ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
41	35, 40	bibi12d 321	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
42	41	albidv 1684	. . 3 |- ( w = y -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
43	8, 34, 42	cbvex 1990	. 2 |- ( E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
44	30, 43	sylib 196	1 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-reg 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-nul 3781  df-sn 4023  df-pr 4025

This theorem is referenced by: (None)