Theorem zfcndrep 9038

Description: Axiom of Replacement ax-rep 4538, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndrep	|- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1892	. . . . . 6 |- F/ y E. y A. z ( A. y ph -> z = y )
2		nfv 1754	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. w
3		nfv 1754	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. x
4		nfa1 1954	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y A. y ph
5	3, 4	nfan 1986	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( w e. x /\ A. y A. y ph )
6	5	nfex 2006	. . . . . . . 8 |- F/ y E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph )
7	2, 6	nfbi 1992	. . . . . . 7 |- F/ y ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
8	7	nfal 2005	. . . . . 6 |- F/ y A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) )
9	1, 8	nfim 1978	. . . . 5 |- F/ y ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
10	9	nfex 2006	. . . 4 |- F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
11		elequ2 1875	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( w e. y <-> w e. x ) )
12	11	anbi1d 709	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
13	12	exbidv 1761	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
14	13	bibi2d 319	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
15	14	albidv 1760	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) )
16	15	imbi2d 317	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
17	16	exbidv 1761	. . . 4 |- ( y = x -> ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) ) ) )
18		axrepnd 9017	. . . . 5 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
19		19.3v 1805	. . . . . . . . 9 |- ( A. y z e. w <-> z e. w )
20		19.3v 1805	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z w e. y <-> w e. y )
21	20	anbi1i 699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
22	21	exbii 1714	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) )
23	19, 22	bibi12i 316	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
24	23	albii 1687	. . . . . . 7 |- ( A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
25	24	imbi2i 313	. . . . . 6 |- ( ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
26	25	exbii 1714	. . . . 5 |- ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. w <-> E. w ( A. z w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) <-> E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) ) )
27	18, 26	mpbi 211	. . . 4 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. y /\ A. y A. y ph ) ) )
28	10, 17, 27	chvar 2069	. . 3 |- E. w ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
29	28	19.35i 1736	. 2 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) )
30		nfv 1754	. . . . 5 |- F/ w z e. y
31		nfe1 1892	. . . . 5 |- F/ w E. w ( w e. x /\ A. y ph )
32	30, 31	nfbi 1992	. . . 4 |- F/ w ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
33	32	nfal 2005	. . 3 |- F/ w A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
34		elequ2 1875	. . . . 5 |- ( w = y -> ( z e. w <-> z e. y ) )
35		nfa1 1954	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ph
36	35	19.3 1941	. . . . . . . 8 |- ( A. y A. y ph <-> A. y ph )
37	36	anbi2i 698	. . . . . . 7 |- ( ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> ( w e. x /\ A. y ph ) )
38	37	exbii 1714	. . . . . 6 |- ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) )
39	38	a1i 11	. . . . 5 |- ( w = y -> ( E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
40	34, 39	bibi12d 322	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
41	40	albidv 1760	. . 3 |- ( w = y -> ( A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) ) )
42	8, 33, 41	cbvex 2078	. 2 |- ( E. w A. z ( z e. w <-> E. w ( w e. x /\ A. y A. y ph ) ) <-> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )
43	29, 42	sylib 199	1 |- ( A. w E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. w ( w e. x /\ A. y ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-reg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-nul 3768  df-sn 4003  df-pr 4005

This theorem is referenced by: (None)