Theorem zfcndpow 8992

Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4545, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4558. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	|- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4558	. . . . 5 |- -. A. y y = z
2		exnal 1693	. . . . 5 |- ( E. y -. y = z <-> -. A. y y = z )
3	1, 2	mpbir 212	. . . 4 |- E. y -. y = z
4		nfe1 1894	. . . . 5 |- F/ y E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
5		axpownd 8977	. . . . 5 |- ( -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
6	4, 5	exlimi 1972	. . . 4 |- ( E. y -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 |- E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
8		19.9v 1805	. . . . . . . 8 |- ( E. x y e. z <-> y e. z )
9		19.3v 1806	. . . . . . . 8 |- ( A. z y e. x <-> y e. x )
10	8, 9	imbi12i 327	. . . . . . 7 |- ( ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) )
11	10	albii 1685	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
12	11	imbi1i 326	. . . . 5 |- ( ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
13	12	albii 1685	. . . 4 |- ( A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
14	13	exbii 1712	. . 3 |- ( E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
15	7, 14	mpbi 211	. 2 |- E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y )
16		elequ1 1875	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
17		elequ1 1875	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
18	16, 17	imbi12d 321	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w e. z -> w e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) ) )
19	18	cbvalv 2088	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> w e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
20	19	imbi1i 326	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
21	20	albii 1685	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
22	21	exbii 1712	. 2 |- ( E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
23	15, 22	mpbir 212	1 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-reg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944

This theorem is referenced by: (None)