MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfcndpow Structured version   Unicode version

Theorem zfcndpow 8804
Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4491, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4504. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndpow  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow
StepHypRef Expression
1 dtru 4504 . . . . 5  |-  -.  A. y  y  =  z
2 exnal 1618 . . . . 5  |-  ( E. y  -.  y  =  z  <->  -.  A. y 
y  =  z )
31, 2mpbir 209 . . . 4  |-  E. y  -.  y  =  z
4 nfe1 1778 . . . . 5  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
5 axpownd 8788 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
64, 5exlimi 1845 . . . 4  |-  ( E. y  -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
8 19.9v 1717 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  y  e.  z  <-> 
y  e.  z )
9 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  y  e.  x
10919.3 1822 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  y  e.  x  <->  y  e.  x )
118, 10imbi12i 326 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
1211albii 1610 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x
)  <->  A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) )
1312imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1413albii 1610 . . . 4  |-  ( A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1514exbii 1634 . . 3  |-  ( E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
167, 15mpbi 208 . 2  |-  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
17 elequ1 1759 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  z  <->  y  e.  z ) )
18 elequ1 1759 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) ) )
2019cbvalv 1971 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
2120imbi1i 325 . . . 4  |-  ( ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2221albii 1610 . . 3  |-  ( A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( A. y ( y  e.  z  -> 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2322exbii 1634 . 2  |-  ( E. y A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
2416, 23mpbir 209 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-reg 7828
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator