MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfcndpow Structured version   Unicode version

Theorem zfcndpow 8983
Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4615, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4628. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndpow  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow
StepHypRef Expression
1 dtru 4628 . . . . 5  |-  -.  A. y  y  =  z
2 exnal 1653 . . . . 5  |-  ( E. y  -.  y  =  z  <->  -.  A. y 
y  =  z )
31, 2mpbir 209 . . . 4  |-  E. y  -.  y  =  z
4 nfe1 1845 . . . . 5  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
5 axpownd 8967 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
64, 5exlimi 1917 . . . 4  |-  ( E. y  -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
8 19.9v 1759 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  y  e.  z  <-> 
y  e.  z )
9 19.3v 1760 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  y  e.  x  <->  y  e.  x )
108, 9imbi12i 324 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
1110albii 1645 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x
)  <->  A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) )
1211imbi1i 323 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1312albii 1645 . . . 4  |-  ( A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1413exbii 1672 . . 3  |-  ( E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
157, 14mpbi 208 . 2  |-  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
16 elequ1 1826 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  z  <->  y  e.  z ) )
17 elequ1 1826 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
1816, 17imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) ) )
1918cbvalv 2028 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
2019imbi1i 323 . . . 4  |-  ( ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2120albii 1645 . . 3  |-  ( A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( A. y ( y  e.  z  -> 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2221exbii 1672 . 2  |-  ( E. y A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
2315, 22mpbir 209 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator