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Theorem zfcndpow 9066
Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4594, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4607. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndpow  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow
StepHypRef Expression
1 dtru 4607 . . . . 5  |-  -.  A. y  y  =  z
2 exnal 1709 . . . . 5  |-  ( E. y  -.  y  =  z  <->  -.  A. y 
y  =  z )
31, 2mpbir 214 . . . 4  |-  E. y  -.  y  =  z
4 nfe1 1928 . . . . 5  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
5 axpownd 9051 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
64, 5exlimi 2005 . . . 4  |-  ( E. y  -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
8 19.9v 1822 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  y  e.  z  <-> 
y  e.  z )
9 19.3v 1823 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  y  e.  x  <->  y  e.  x )
108, 9imbi12i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
1110albii 1701 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x
)  <->  A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) )
1211imbi1i 331 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1312albii 1701 . . . 4  |-  ( A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1413exbii 1728 . . 3  |-  ( E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
157, 14mpbi 213 . 2  |-  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
16 elequ1 1904 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  z  <->  y  e.  z ) )
17 elequ1 1904 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
1816, 17imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) ) )
1918cbvalv 2126 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
2019imbi1i 331 . . . 4  |-  ( ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2120albii 1701 . . 3  |-  ( A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( A. y ( y  e.  z  -> 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2221exbii 1728 . 2  |-  ( E. y A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
2315, 22mpbir 214 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1452    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-reg 8132
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982
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