Theorem zfcndpow 9066

Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4594, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4607. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	|- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4607	. . . . 5 |- -. A. y y = z
2		exnal 1709	. . . . 5 |- ( E. y -. y = z <-> -. A. y y = z )
3	1, 2	mpbir 214	. . . 4 |- E. y -. y = z
4		nfe1 1928	. . . . 5 |- F/ y E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
5		axpownd 9051	. . . . 5 |- ( -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
6	4, 5	exlimi 2005	. . . 4 |- ( E. y -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 |- E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
8		19.9v 1822	. . . . . . . 8 |- ( E. x y e. z <-> y e. z )
9		19.3v 1823	. . . . . . . 8 |- ( A. z y e. x <-> y e. x )
10	8, 9	imbi12i 332	. . . . . . 7 |- ( ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) )
11	10	albii 1701	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
12	11	imbi1i 331	. . . . 5 |- ( ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
13	12	albii 1701	. . . 4 |- ( A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
14	13	exbii 1728	. . 3 |- ( E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
15	7, 14	mpbi 213	. 2 |- E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y )
16		elequ1 1904	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
17		elequ1 1904	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
18	16, 17	imbi12d 326	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w e. z -> w e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) ) )
19	18	cbvalv 2126	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> w e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
20	19	imbi1i 331	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
21	20	albii 1701	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
22	21	exbii 1728	. 2 |- ( E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
23	15, 22	mpbir 214	1 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1452   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-reg 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982

This theorem is referenced by: (None)