Theorem zfcndpow 8804

Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4491, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4504. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	|- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4504	. . . . 5 |- -. A. y y = z
2		exnal 1618	. . . . 5 |- ( E. y -. y = z <-> -. A. y y = z )
3	1, 2	mpbir 209	. . . 4 |- E. y -. y = z
4		nfe1 1778	. . . . 5 |- F/ y E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
5		axpownd 8788	. . . . 5 |- ( -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
6	4, 5	exlimi 1845	. . . 4 |- ( E. y -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 |- E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
8		19.9v 1717	. . . . . . . 8 |- ( E. x y e. z <-> y e. z )
9		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ z y e. x
10	9	19.3 1822	. . . . . . . 8 |- ( A. z y e. x <-> y e. x )
11	8, 10	imbi12i 326	. . . . . . 7 |- ( ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) )
12	11	albii 1610	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
13	12	imbi1i 325	. . . . 5 |- ( ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
14	13	albii 1610	. . . 4 |- ( A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
15	14	exbii 1634	. . 3 |- ( E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
16	7, 15	mpbi 208	. 2 |- E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y )
17		elequ1 1759	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
18		elequ1 1759	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w e. z -> w e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) ) )
20	19	cbvalv 1971	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> w e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
21	20	imbi1i 325	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
22	21	albii 1610	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
23	22	exbii 1634	. 2 |- ( E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
24	16, 23	mpbir 209	1 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-reg 7828

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901

This theorem is referenced by: (None)