Theorem zfcndpow 8983

Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4615, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4628. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	|- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4628	. . . . 5 |- -. A. y y = z
2		exnal 1653	. . . . 5 |- ( E. y -. y = z <-> -. A. y y = z )
3	1, 2	mpbir 209	. . . 4 |- E. y -. y = z
4		nfe1 1845	. . . . 5 |- F/ y E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
5		axpownd 8967	. . . . 5 |- ( -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
6	4, 5	exlimi 1917	. . . 4 |- ( E. y -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 |- E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
8		19.9v 1759	. . . . . . . 8 |- ( E. x y e. z <-> y e. z )
9		19.3v 1760	. . . . . . . 8 |- ( A. z y e. x <-> y e. x )
10	8, 9	imbi12i 324	. . . . . . 7 |- ( ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) )
11	10	albii 1645	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
12	11	imbi1i 323	. . . . 5 |- ( ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
13	12	albii 1645	. . . 4 |- ( A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
14	13	exbii 1672	. . 3 |- ( E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
15	7, 14	mpbi 208	. 2 |- E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y )
16		elequ1 1826	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
17		elequ1 1826	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
18	16, 17	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w e. z -> w e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) ) )
19	18	cbvalv 2028	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> w e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
20	19	imbi1i 323	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
21	20	albii 1645	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
22	21	exbii 1672	. 2 |- ( E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
23	15, 22	mpbir 209	1 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-reg 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019

This theorem is referenced by: (None)