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Theorem zfcndpow 8992
Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4545, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4558. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndpow  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow
StepHypRef Expression
1 dtru 4558 . . . . 5  |-  -.  A. y  y  =  z
2 exnal 1693 . . . . 5  |-  ( E. y  -.  y  =  z  <->  -.  A. y 
y  =  z )
31, 2mpbir 212 . . . 4  |-  E. y  -.  y  =  z
4 nfe1 1894 . . . . 5  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
5 axpownd 8977 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
64, 5exlimi 1972 . . . 4  |-  ( E. y  -.  y  =  z  ->  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. y A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )
8 19.9v 1805 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  y  e.  z  <-> 
y  e.  z )
9 19.3v 1806 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  y  e.  x  <->  y  e.  x )
108, 9imbi12i 327 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
1110albii 1685 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x
)  <->  A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) )
1211imbi1i 326 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1312albii 1685 . . . 4  |-  ( A. z ( A. y
( E. x  y  e.  z  ->  A. z 
y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
1413exbii 1712 . . 3  |-  ( E. y A. z ( A. y ( E. x  y  e.  z  ->  A. z  y  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
157, 14mpbi 211 . 2  |-  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
16 elequ1 1875 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  z  <->  y  e.  z ) )
17 elequ1 1875 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
1816, 17imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  z  ->  y  e.  x ) ) )
1918cbvalv 2088 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
) )
2019imbi1i 326 . . . 4  |-  ( ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  ( A. y ( y  e.  z  ->  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2120albii 1685 . . 3  |-  ( A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( A. y ( y  e.  z  -> 
y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2221exbii 1712 . 2  |-  ( E. y A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( A. y
( y  e.  z  ->  y  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
2315, 22mpbir 212 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-reg 8060
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944
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