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Theorem zfcndinf 8994
Description: Axiom of Infinity ax-inf 8096, reproved from conditionless ZFC axioms. Since we have already reproved Extensionality, Replacement, and Power Sets above, we are justified in referencing theorem el 4549 in the proof. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by NM, 15-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
zfcndinf  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndinf
StepHypRef Expression
1 el 4549 . . 3  |-  E. w  x  e.  w
2 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ w  x  e.  y
3 nfe1 1894 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y )
42, 3nfim 1980 . . . . . . 7  |-  F/ w
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) )
54nfal 2007 . . . . . 6  |-  F/ w A. x ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) )
62, 5nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ w
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
76nfex 2008 . . . 4  |-  F/ w E. y ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
8 axinfnd 8982 . . . . 5  |-  E. y
( x  e.  w  ->  ( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
9819.37iv 1820 . . . 4  |-  ( x  e.  w  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
107, 9exlimi 1972 . . 3  |-  ( E. w  x  e.  w  ->  E. y ( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) ) )
111, 10ax-mp 5 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
12 elequ1 1875 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  y  <->  x  e.  y ) )
13 elequ1 1875 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  w  <->  x  e.  w ) )
1413anbi1d 709 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  w  /\  w  e.  y
)  <->  ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
1514exbidv 1762 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) )
1612, 15imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) ) )
1716cbvalv 2088 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
1817anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
1918exbii 1712 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
2011, 19mpbir 212 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-reg 8060  ax-inf 8096
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-nul 3705  df-sn 3942  df-pr 3944
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