Theorem zfcndac 6123

Description: Axiom of Choice ax-ac 5906, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	|- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 6116	. . 3 |- E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
2		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((z e. w /\ w e. x) -> A.y(z e. w /\ w e. x))
3	2	19.3 1378	. . . . . 6 |- (A.y(z e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x))
4	3	imbi1i 203	. . . . 5 |- ((A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
5	4	2albii 1347	. . . 4 |- (A.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
6	5	exbii 1398	. . 3 |- (E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
7	1, 6	mpbi 206	. 2 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
8		equequ2 1495	. . . . . . . . . 10 |- (v = x -> (u = v <-> u = x))
9	8	bibi2d 680	. . . . . . . . 9 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x)))
10		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (w e. t <-> w e. x))
11	10	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. w /\ w e. t) <-> (u e. w /\ w e. x)))
12		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (u e. t <-> u e. x))
13		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (t e. y <-> x e. y))
14	12, 13	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. t /\ t e. y) <-> (u e. x /\ x e. y)))
15	11, 14	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (t = x -> (((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> ((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y))))
16	15	cbvexv 1697	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)))
17	16	bibi1i 671	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x))
18	9, 17	syl6bb 595	. . . . . . . 8 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
19	18	albidv 1656	. . . . . . 7 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
20		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. w <-> z e. w))
21	20	anbi1d 679	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x)))
22		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. x <-> z e. x))
23	22	anbi1d 679	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. x /\ x e. y) <-> (z e. x /\ x e. y)))
24	21, 23	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> ((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
25	24	exbidv 1657	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
26		equequ1 1494	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = x <-> z = x))
27	25, 26	bibi12d 691	. . . . . . . 8 |- (u = z -> ((E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
28	27	cbvalv 1696	. . . . . . 7 |- (A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
29	19, 28	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
30	29	cbvexv 1697	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
31	30	imbi2i 202	. . . 4 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
32	31	2albii 1347	. . 3 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
33	32	exbii 1398	. 2 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
34	7, 33	mpbir 207	1 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-reg 5695  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625

Copyright terms: Public domain