Theorem zfcndac 9041

Description: Axiom of Choice ax-ac 8886, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	|- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 9034	. . 3 |- E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
2		19.3v 1812	. . . . . 6 |- ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) )
3	2	imbi1i 327	. . . . 5 |- ( ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
4	3	2albii 1691	. . . 4 |- ( A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
5	4	exbii 1717	. . 3 |- ( E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
6	1, 5	mpbi 212	. 2 |- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
7		equequ2 1867	. . . . . . . . . 10 |- ( v = x -> ( u = v <-> u = x ) )
8	7	bibi2d 320	. . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) ) )
9		elequ2 1900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( w e. t <-> w e. x ) )
10	9	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. w /\ w e. t ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) )
11		elequ2 1900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( u e. t <-> u e. x ) )
12		elequ1 1893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( t e. y <-> x e. y ) )
13	11, 12	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. t /\ t e. y ) <-> ( u e. x /\ x e. y ) ) )
14	10, 13	anbi12d 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) ) )
15	14	cbvexv 2116	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) )
16	15	bibi1i 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) )
17	8, 16	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
18	17	albidv 1766	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
19		elequ1 1893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
20	19	anbi1d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) ) )
21		elequ1 1893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. x <-> z e. x ) )
22	21	anbi1d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. x /\ x e. y ) <-> ( z e. x /\ x e. y ) ) )
23	20, 22	anbi12d 716	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
24	23	exbidv 1767	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
25		equequ1 1866	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u = x <-> z = x ) )
26	24, 25	bibi12d 323	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
27	26	cbvalv 2115	. . . . . . 7 |- ( A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
28	18, 27	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
29	28	cbvexv 2116	. . . . 5 |- ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
30	29	imbi2i 314	. . . 4 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
31	30	2albii 1691	. . 3 |- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
32	31	exbii 1717	. 2 |- ( E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
33	6, 32	mpbir 213	1 |- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1441   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-reg 8104  ax-ac 8886

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-br 4402  df-opab 4461  df-eprel 4744  df-fr 4792

This theorem is referenced by: (None)