Theorem zfcndac 8900

Description: Axiom of Choice ax-ac 8742, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	|- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 8893	. . 3 |- E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
2		nfv 1674	. . . . . . 7 |- F/ y ( z e. w /\ w e. x )
3	2	19.3 1827	. . . . . 6 |- ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) )
4	3	imbi1i 325	. . . . 5 |- ( ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
5	4	2albii 1612	. . . 4 |- ( A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
6	5	exbii 1635	. . 3 |- ( E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
7	1, 6	mpbi 208	. 2 |- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
8		equequ2 1739	. . . . . . . . . 10 |- ( v = x -> ( u = v <-> u = x ) )
9	8	bibi2d 318	. . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) ) )
10		elequ2 1763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( w e. t <-> w e. x ) )
11	10	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. w /\ w e. t ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) )
12		elequ2 1763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( u e. t <-> u e. x ) )
13		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( t e. y <-> x e. y ) )
14	12, 13	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. t /\ t e. y ) <-> ( u e. x /\ x e. y ) ) )
15	11, 14	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) ) )
16	15	cbvexv 1984	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) )
17	16	bibi1i 314	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) )
18	9, 17	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
19	18	albidv 1680	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
20		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
21	20	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) ) )
22		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. x <-> z e. x ) )
23	22	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. x /\ x e. y ) <-> ( z e. x /\ x e. y ) ) )
24	21, 23	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
25	24	exbidv 1681	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
26		equequ1 1738	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u = x <-> z = x ) )
27	25, 26	bibi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
28	27	cbvalv 1983	. . . . . . 7 |- ( A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
29	19, 28	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
30	29	cbvexv 1984	. . . . 5 |- ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
31	30	imbi2i 312	. . . 4 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
32	31	2albii 1612	. . 3 |- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
33	32	exbii 1635	. 2 |- ( E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
34	7, 33	mpbir 209	1 |- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-reg 7921  ax-ac 8742

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-br 4404  df-opab 4462  df-eprel 4743  df-fr 4790

This theorem is referenced by: (None)