Theorem zfac 8775

Description: Axiom of Choice expressed with the fewest number of different variables. The penultimate step shows the logical equivalence to ax-ac 8774. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfac	|- E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfac

Dummy variables v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ac 8774	. 2 |- E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) )
2		equequ2 1817	. . . . . . . . . 10 |- ( v = w -> ( u = v <-> u = w ) )
3	2	bibi2d 316	. . . . . . . . 9 |- ( v = w -> ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = w ) ) )
4		elequ2 1841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( z e. t <-> z e. w ) )
5	4	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = w -> ( ( u e. z /\ z e. t ) <-> ( u e. z /\ z e. w ) ) )
6		elequ2 1841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( u e. t <-> u e. w ) )
7		elequ1 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( t e. x <-> w e. x ) )
8	6, 7	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = w -> ( ( u e. t /\ t e. x ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) )
9	5, 8	anbi12d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = w -> ( ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) ) )
10	9	cbvexv 2045	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) )
11	10	bibi1i 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = w ) <-> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) )
12	3, 11	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) ) )
13	12	albidv 1728	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) ) )
14		elequ1 1839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = y -> ( u e. z <-> y e. z ) )
15	14	anbi1d 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = y -> ( ( u e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. w ) ) )
16		elequ1 1839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = y -> ( u e. w <-> y e. w ) )
17	16	anbi1d 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = y -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( y e. w /\ w e. x ) ) )
18	15, 17	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( u = y -> ( ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
19	18	exbidv 1729	. . . . . . . . 9 |- ( u = y -> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
20		equequ1 1816	. . . . . . . . 9 |- ( u = y -> ( u = w <-> y = w ) )
21	19, 20	bibi12d 319	. . . . . . . 8 |- ( u = y -> ( ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) <-> ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
22	21	cbvalv 2044	. . . . . . 7 |- ( A. u ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) <-> A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )
23	13, 22	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
24	23	cbvexv 2045	. . . . 5 |- ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )
25	24	imbi2i 310	. . . 4 |- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
26	25	2albii 1656	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
27	26	exbii 1682	. 2 |- ( E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
28	1, 27	mpbi 208	1 |- E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1397   E.wex 1627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ac 8774

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-ex 1628  df-nf 1632

This theorem is referenced by:  axacndlem4  8921