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Theorem zfac 8775
Description: Axiom of Choice expressed with the fewest number of different variables. The penultimate step shows the logical equivalence to ax-ac 8774. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
zfac  |-  E. x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfac
Dummy variables  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-ac 8774 . 2  |-  E. x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  v
) )
2 equequ2 1817 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  w  ->  (
u  =  v  <->  u  =  w ) )
32bibi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  x ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  w
) ) )
4 elequ2 1841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  w ) )
54anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  e.  z  /\  z  e.  t )  <->  ( u  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
6 elequ2 1841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  w ) )
7 elequ1 1839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
t  e.  x  <->  w  e.  x ) )
86, 7anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  e.  t  /\  t  e.  x
)  <->  ( u  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
95, 8anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
109cbvexv 2045 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( u  e.  w  /\  w  e.  x
) ) )
1110bibi1i 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  x
) )  <->  u  =  w )  <->  ( E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  u  =  w
) )
123, 11syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  x ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  u  =  w
) ) )
1312albidv 1728 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. u ( E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  u  =  w
) ) )
14 elequ1 1839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  z  <->  y  e.  z ) )
1514anbi1d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
16 elequ1 1839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  w  <->  y  e.  w ) )
1716anbi1d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
1815, 17anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
1918exbidv 1729 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  ( E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
20 equequ1 1816 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  (
u  =  w  <->  y  =  w ) )
2119, 20bibi12d 319 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  (
( E. w ( ( u  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( u  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  u  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
2221cbvalv 2044 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( E. w
( ( u  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
u  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  u  =  w
)  <->  A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2313, 22syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
2423cbvexv 2045 . . . . 5  |-  ( E. v A. u ( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  x
) )  <->  u  =  v )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2524imbi2i 310 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  v
) )  <->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
26252albii 1656 . . 3  |-  ( A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. v A. u
( E. t ( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  x ) )  <->  u  =  v ) )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
2726exbii 1682 . 2  |-  ( E. x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  z  /\  z  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  x )
)  <->  u  =  v
) )  <->  E. x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
281, 27mpbi 208 1  |-  E. x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397   E.wex 1627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ac 8774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-ex 1628  df-nf 1632
This theorem is referenced by:  axacndlem4  8921
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