Theorem zexpcl 11885

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 10659	. 2 |- ZZ C_ CC
2		zmulcl 10698	. 2 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
3		1z 10681	. 2 |- 1 e. ZZ
4	1, 2, 3	expcllem 11881	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756  (class class class)co 6096   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ^cexp 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-exp 11871

This theorem is referenced by:  zsqcl  11941  modexp  12004  climcndslem1  13317  iddvdsexp  13561  dvdsexp  13594  3dvds  13601  prmdvdsexp  13805  rpexp  13811  rpexp12i  13813  phiprmpw  13856  eulerthlem2  13862  fermltl  13864  prmdiv  13865  prmdiveq  13866  odzcllem  13869  odzdvds  13872  odzphi  13873  pcneg  13945  pcprmpw  13954  prmpwdvds  13970  pockthlem  13971  dyaddisjlem  21080  aalioulem1  21803  aaliou3lem6  21819  muf  22483  dvdsppwf1o  22531  mersenne  22571  lgslem1  22640  lgslem4  22643  lgsval2lem  22650  lgsvalmod  22659  lgsmod  22665  lgsdirprm  22673  lgsne0  22677  lgsqrlem1  22685  lgseisenlem2  22694  lgseisenlem4  22696  m1lgs  22706  oddpwdc  26742  dvdspw  27561  nn0prpwlem  28522  nn0prpw  28523  jm2.18  29342  jm2.22  29349  jm2.23  29350  jm2.20nn  29351  powm2modprm  30253