Theorem zexpcl 12149

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 10872	. 2 |- ZZ C_ CC
2		zmulcl 10911	. 2 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
3		1z 10894	. 2 |- 1 e. ZZ
4	1, 2, 3	expcllem 12145	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767  (class class class)co 6284   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ^cexp 12134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135

This theorem is referenced by:  zsqcl  12206  modexp  12269  climcndslem1  13624  iddvdsexp  13868  dvdsexp  13901  3dvds  13909  prmdvdsexp  14114  rpexp  14120  rpexp12i  14122  phiprmpw  14165  eulerthlem2  14171  fermltl  14173  prmdiv  14174  prmdiveq  14175  odzcllem  14178  odzdvds  14181  odzphi  14182  powm2modprm  14187  pcneg  14256  pcprmpw  14265  prmpwdvds  14281  pockthlem  14282  dyaddisjlem  21767  aalioulem1  22490  aaliou3lem6  22506  muf  23170  dvdsppwf1o  23218  mersenne  23258  lgslem1  23327  lgslem4  23330  lgsval2lem  23337  lgsvalmod  23346  lgsmod  23352  lgsdirprm  23360  lgsne0  23364  lgsqrlem1  23372  lgseisenlem2  23381  lgseisenlem4  23383  m1lgs  23393  oddpwdc  27961  dvdspw  28780  nn0prpwlem  29745  nn0prpw  29746  jm2.18  30562  jm2.22  30569  jm2.23  30570  jm2.20nn  30571