MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Structured version   Unicode version

Theorem zexpcl 12284
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 10945 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 zmulcl 10985 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3 1z 10967 . 2  |-  1  e.  ZZ
41, 2, 3expcllem 12280 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  zsqcl  12342  modexp  12404  climcndslem1  13885  iddvdsexp  14304  dvdsexp  14339  3dvds  14347  prmdvdsexp  14638  rpexp  14643  rpexp12i  14645  phiprmpw  14693  eulerthlem2  14699  fermltl  14701  prmdiv  14702  prmdiveq  14703  odzcllem  14706  odzdvds  14709  odzphi  14710  vfermltlALT  14716  powm2modprm  14717  pcneg  14786  pcprmpw  14795  prmpwdvds  14811  pockthlem  14812  dyaddisjlem  22430  aalioulem1  23153  aaliou3lem6  23169  muf  23930  dvdsppwf1o  23978  mersenne  24018  lgslem1  24087  lgslem4  24090  lgsval2lem  24097  lgsvalmod  24106  lgsmod  24112  lgsdirprm  24120  lgsne0  24124  lgsqrlem1  24132  lgseisenlem2  24141  lgseisenlem4  24143  m1lgs  24153  mdetlap  28497  oddpwdc  29013  dvdspw  30173  nn0prpwlem  30763  nn0prpw  30764  jm2.18  35549  jm2.22  35556  jm2.23  35557  jm2.20nn  35558  inductionexd  36230  etransclem3  37669  etransclem7  37673  etransclem10  37676  etransclem24  37690  etransclem27  37693  etransclem35  37701  nnpw2evenALTV  38228  proththd  38313  41prothprmlem2  38317  pw2m1lepw2m1  39088  nnpw2blenfzo  39162  dignn0fr  39182  digexp  39188  dignn0flhalflem1  39196
  Copyright terms: Public domain W3C validator