Theorem zexpcl 12319

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 10974	. 2 |- ZZ C_ CC
2		zmulcl 11014	. 2 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
3		1z 10996	. 2 |- 1 e. ZZ
4	1, 2, 3	expcllem 12315	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   e. wcel 1898  (class class class)co 6315   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ^cexp 12304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-seq 12246  df-exp 12305

This theorem is referenced by:  zsqcl  12377  modexp  12439  climcndslem1  13956  iddvdsexp  14375  dvdsexp  14410  3dvds  14418  prmdvdsexp  14716  rpexp  14721  rpexp12i  14723  phiprmpw  14773  eulerthlem2  14779  fermltl  14781  prmdiv  14782  prmdiveq  14783  odzcllem  14786  odzdvds  14789  odzphi  14790  odzcllemOLD  14792  odzdvdsOLD  14795  odzphiOLD  14796  vfermltlALT  14802  powm2modprm  14803  pcneg  14872  pcprmpw  14881  prmpwdvds  14897  pockthlem  14898  dyaddisjlem  22602  aalioulem1  23337  aaliou3lem6  23353  muf  24116  dvdsppwf1o  24164  mersenne  24204  lgslem1  24273  lgslem4  24276  lgsval2lem  24283  lgsvalmod  24292  lgsmod  24298  lgsdirprm  24306  lgsne0  24310  lgsqrlem1  24318  lgseisenlem2  24327  lgseisenlem4  24329  m1lgs  24339  mdetlap  28707  oddpwdc  29236  dvdspw  30435  nn0prpwlem  31027  nn0prpw  31028  jm2.18  35888  jm2.22  35895  jm2.23  35896  jm2.20nn  35897  inductionexd  36638  etransclem3  38140  etransclem7  38144  etransclem10  38147  etransclem24  38161  etransclem27  38164  etransclem35  38172  nnpw2evenALTV  38867  proththd  38952  41prothprmlem2  38956  pw2m1lepw2m1  40591  nnpw2blenfzo  40665  dignn0fr  40685  digexp  40691  dignn0flhalflem1  40699