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Theorem zetacvg 28535
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11127 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10902 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
5 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
8 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
9 nncn 10551 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
11 nnne0 10575 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1413negcld 9923 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1610, 12, 15cxpefd 23071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
178, 16eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1817fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
19 nnrp 11240 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019relogcld 22986 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2120recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
22 mulcl 9579 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2314, 21, 22syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
24 absef 13914 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
26 remul 12944 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2714, 21, 26syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2813renegd 13024 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
2920rered 13039 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3028, 29oveqan12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3120reim0d 13040 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3231oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
33 imcl 12926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3433recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3514, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3635mul01d 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3732, 36sylan9eqr 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3830, 37oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
3913recld 13009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4039renegcld 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4140recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
42 mulcl 9579 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4341, 21, 42syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4443subid1d 9925 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4527, 38, 443eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4645fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4741adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4810, 12, 47cxpefd 23071 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4946, 48eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
5018, 25, 493eqtrd 2488 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
517, 50eqtr4d 2487 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5210, 15cxpcld 23067 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  e.  CC )
538, 52eqeltrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
54 2rp 11236 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
55 1re 9598 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
56 resubcl 9888 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5755, 39, 56sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
58 rpcxpcl 23035 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
5954, 57, 58sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6059rpcnd 11269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
62 recl 12925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6362recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6413, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6564addid2d 9784 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6661, 65breqtrrd 4463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
67 0re 9599 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
68 ltsubadd 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
6955, 67, 68mp3an13 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7039, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7166, 70mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
72 2re 10612 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
73 1lt2 10709 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
74 cxplt 23053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7657, 67, 75sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7771, 76mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^c  0 ) )
7859rprege0d 11274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
79 absid 13111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
81 2cn 10613 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
82 cxp0 23029 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^c  0 )  =  1 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^c  0 )  =  1
8483eqcomi 2456 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^c  0 )
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^c  0 ) )
8677, 80, 853brtr4d 4467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
87 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
88 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
89 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9087, 88, 89fvmpt 5941 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9190adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9260, 86, 91geolim 13661 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
93 seqex 12091 . . . . 5  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
94 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9593, 94breldm 5197 . . . 4  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9692, 95syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
97 rpcxpcl 23035 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9819, 40, 97syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
9998rpred 11267 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1007, 99eqeltrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10198rpge0d 11271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^c  -u ( Re `  S
) ) )
102101, 7breqtrrd 4463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
103 nnre 10550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
104103lep1d 10484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10519reeflogd 22987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
106 peano2nn 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
107106nnrpd 11266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
108107reeflogd 22987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
109104, 105, 1083brtr4d 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
110107relogcld 22986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
111 efle 13835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11220, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
114113adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11520adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
116106adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
117116nnrpd 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
118117relogcld 22986 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
11939adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
122 0lt1 10082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
126 lemul2 10402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128114, 127mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
129 remulcl 9580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13039, 20, 129syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
131 remulcl 9580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13239, 110, 131syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
133130, 132lenegd 10138 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
134128, 133mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
135110recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
136 mulneg1 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13764, 135, 136syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
138 mulneg1 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
13964, 21, 138syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
140134, 137, 1393brtr4d 4467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
141 remulcl 9580 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14240, 110, 141syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 9580 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14440, 20, 143syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
145 efle 13835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
146142, 144, 145syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147140, 146mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
148 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
149 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
150148, 4, 149fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
151116, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
152116nncnd 10559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
153116nnne0d 10587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
154152, 153, 47cxpefd 23071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
155151, 154eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1567, 48eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
157147, 155, 1563brtr4d 4467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15857recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
159158adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
160 nn0re 10811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
161160adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
162161recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
163159, 162mulcomd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
164163oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
166165, 161, 159cxpmuld 23093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
167 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
168 cxpexp 23027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^c 
m )  =  ( 2 ^ m ) )
16981, 167, 168sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
170 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17164adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
172 negsub 9872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
173170, 171, 172sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
174173eqcomd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
175169, 174oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
176164, 166, 1753eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17757adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
178165, 177, 162cxpmuld 23093 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^c  m ) )
179 2nn 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
180 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
181179, 180mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
182181adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182nncnd 10559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
184182nnne0d 10587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
185 1cnd 9615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18641adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
187183, 184, 185, 186cxpaddd 23076 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )
188176, 178, 1873eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
189 cxpexp 23027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
m ) )
19060, 189sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
191183cxp1d 23065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
192191oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
193188, 190, 1923eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) )
194179, 167, 180sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
195 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
196 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
197195, 4, 196fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
198194, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
199198oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
200193, 91, 1993eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
201100, 102, 157, 200climcnds 13645 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20296, 201mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 13615 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   RR+crp 11231    seqcseq 12089   ^cexp 12148   Recre 12912   Imcim 12913   abscabs 13049    ~~> cli 13289   expce 13779   logclog 22920    ^c ccxp 22921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-cxp 22923
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  28552
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