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Theorem zetacvg 24752
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . 3  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
6 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
87adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
9 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
10 nncn 9964 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
12 nnne0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1312adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
14 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1514negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1711, 13, 16cxpefd 20556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
189, 17eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1918fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
20 nnrp 10577 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2120relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2221recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
23 mulcl 9030 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2415, 22, 23syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
25 absef 12753 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
27 remul 11889 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2815, 22, 27syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2914renegd 11969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
3021rered 11984 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3129, 30oveqan12d 6059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3221reim0d 11985 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3332oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
34 imcl 11871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3534recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3615, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3736mul01d 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3833, 37sylan9eqr 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3931, 38oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
4014recld 11954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4140renegcld 9420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4241recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
43 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4442, 22, 43syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4544subid1d 9356 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4628, 39, 453eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4746fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4842adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4911, 13, 48cxpefd 20556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
5047, 49eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5119, 26, 503eqtrd 2440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
528, 51eqtr4d 2439 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5311, 16cxpcld 20552 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  e.  CC )
549, 53eqeltrd 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
55 2rp 10573 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
56 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
57 resubcl 9321 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5856, 40, 57sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
59 rpcxpcl 20520 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6055, 58, 59sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6160rpcnd 10606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
62 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
63 recl 11870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6463recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6514, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6665addid2d 9223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6762, 66breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
68 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 ltsubadd 9454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7056, 68, 69mp3an13 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7140, 70syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7267, 71mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
73 2re 10025 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
74 1lt2 10098 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
75 cxplt 20538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7673, 74, 75mpanl12 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7758, 68, 76sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7872, 77mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^ c  0 ) )
7960rprege0d 10611 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
80 absid 12056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
82 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
83 cxp0 20514 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  0 )  =  1 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^ c  0 )  =  1
8584eqcomi 2408 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^ c  0 )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^ c  0 ) )
8778, 81, 863brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
88 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
89 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
90 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9188, 89, 90fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9291adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9361, 87, 92geolim 12602 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
94 seqex 11280 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
95 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9694, 95breldm 5033 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9793, 96syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
98 rpcxpcl 20520 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^ c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9920, 41, 98syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
10099rpred 10604 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1018, 100eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10299rpge0d 10608 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^ c  -u ( Re `  S
) ) )
103102, 8breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
104 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
105104lep1d 9898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10620reeflogd 20472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
107 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
109108reeflogd 20472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
110105, 106, 1093brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
111108relogcld 20471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
112 efle 12674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11321, 111, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
115114adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11621adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
117107adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
119118relogcld 20471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
12040adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12256a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
123 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
125121, 122, 40, 124, 62lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
126125adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
127 lemul2 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128116, 119, 120, 126, 127syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
129115, 128mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
130 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13140, 21, 130syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
132 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13340, 111, 132syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
134131, 133lenegd 9561 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
135129, 134mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
136111recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
137 mulneg1 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13865, 136, 137syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
139 mulneg1 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
14065, 22, 139syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
141135, 138, 1403brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
142 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14341, 111, 142syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
144 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14541, 21, 144syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
146 efle 12674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147143, 145, 146syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
148141, 147mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
149 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
150 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
151149, 5, 150fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
152117, 151syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
153117nncnd 9972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
154117nnne0d 10000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
155153, 154, 48cxpefd 20556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156152, 155eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1578, 49eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
158148, 156, 1573brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15958recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
160159adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
161 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
162161adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
163162recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
164160, 163mulcomd 9065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
165164oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
167166, 162, 160cxpmuld 20578 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
168 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
169 cxpexp 20512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
17082, 168, 169sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
171 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17265adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
173 negsub 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
174171, 172, 173sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
175174eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
176170, 175oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
177165, 167, 1763eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17858adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
179166, 178, 163cxpmuld 20578 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^ c  m ) )
180 2nn 10089 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
181 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
182180, 181mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
184183nncnd 9972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
185183nnne0d 10000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
186171a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18742adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
188184, 185, 186, 187cxpaddd 20561 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )
189177, 179, 1883eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
190 cxpexp 20512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ m
) )
19161, 190sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
192184cxp1d 20550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
193192oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
194189, 191, 1933eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) )
195180, 168, 181sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
196 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
197 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
199195, 198syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
200199oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
201194, 92, 2003eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
202101, 103, 158, 201climcnds 12586 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20397, 202mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2041, 3, 52, 54, 203abscvgcvg 12553 1  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568    seq cseq 11278   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994    ~~> cli 12233   expce 12619   logclog 20405    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  24769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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