Theorem zetacvg 23933

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11191	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10965	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		oveq1 6295	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
4		eqid 2450	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) )
5		ovex 6316	. . . . 5 |- ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 5946	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
7	6	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
8		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )
9		nncn 10614	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
10	9	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
11		nnne0 10639	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
12	11	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
14	13	negcld 9970	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
15	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
16	10, 12, 15	cxpefd 23650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
17	8, 16	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	17	fveq2d 5867	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
19		nnrp 11308	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
20	19	relogcld 23565	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
21	20	recnd 9666	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
22		mulcl 9620	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
23	14, 21, 22	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24		absef 14244	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26		remul 13185	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
27	14, 21, 26	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	13	renegd 13265	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
29	20	rered 13280	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
30	28, 29	oveqan12d 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
31	20	reim0d 13281	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
32	31	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
33		imcl 13167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
34	33	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
35	14, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	35	mul01d 9829	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
37	32, 36	sylan9eqr 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
38	30, 37	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
39	13	recld 13250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
40	39	renegcld 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
41	40	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
42		mulcl 9620	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
43	41, 21, 42	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	43	subid1d 9972	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
45	27, 38, 44	3eqtrd 2488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	45	fveq2d 5867	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
47	41	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
48	10, 12, 47	cxpefd 23650	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
49	46, 48	eqtr4d 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
50	18, 25, 49	3eqtrd 2488	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
51	7, 50	eqtr4d 2487	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
52	10, 15	cxpcld 23646	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) e. CC )
53	8, 52	eqeltrd 2528	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
54		2rp 11304	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
55		1re 9639	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
56		resubcl 9935	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
57	55, 39, 56	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58		rpcxpcl 23614	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
59	54, 57, 58	sylancr 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	59	rpcnd 11340	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
62		recl 13166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
63	62	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
65	64	addid2d 9831	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
66	61, 65	breqtrrd 4428	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
67		0re 9640	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
68		ltsubadd 10081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
69	55, 67, 68	mp3an13 1354	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	39, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	66, 70	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
72		2re 10676	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
73		1lt2 10773	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
74		cxplt 23632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
75	72, 73, 74	mpanl12 687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
76	57, 67, 75	sylancl 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
77	71, 76	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) )
78	59	rprege0d 11345	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
79		absid 13352	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81		2cn 10677	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
82		cxp0 23608	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^c 0 ) = 1 )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^c 0 ) = 1
84	83	eqcomi 2459	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^c 0 )
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^c 0 ) )
86	77, 80, 85	3brtr4d 4432	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
87		oveq2 6296	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
88		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
89		ovex 6316	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
90	87, 88, 89	fvmpt 5946	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
91	90	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	60, 86, 91	geolim 13919	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
93		seqex 12212	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
94		ovex 6316	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
95	93, 94	breldm 5038	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
96	92, 95	syl 17	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97		rpcxpcl 23614	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
98	19, 40, 97	syl2anr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	98	rpred 11338	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
100	7, 99	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
101	98	rpge0d 11342	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
102	101, 7	breqtrrd 4428	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
103		nnre 10613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
104	103	lep1d 10535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
105	19	reeflogd 23566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
106		peano2nn 10618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
107	106	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
108	107	reeflogd 23566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
109	104, 105, 108	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
110	107	relogcld 23565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
111		efle 14165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
112	20, 110, 111	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
114	113	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	20	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
116	106	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
117	116	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
118	117	relogcld 23565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
119	39	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
122		0lt1 10133	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 9793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
125	124	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
126		lemul2 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	114, 127	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
129		remulcl 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
130	39, 20, 129	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131		remulcl 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
132	39, 110, 131	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	130, 132	lenegd 10189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
134	128, 133	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
135	110	recnd 9666	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
136		mulneg1 10052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
137	64, 135, 136	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138		mulneg1 10052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
139	64, 21, 138	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	134, 137, 139	3brtr4d 4432	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141		remulcl 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
142	40, 110, 141	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143		remulcl 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
144	40, 20, 143	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145		efle 14165	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
146	142, 144, 145	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	140, 146	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
148		oveq1 6295	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
149		ovex 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
150	148, 4, 149	fvmpt 5946	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
151	116, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
152	116	nncnd 10622	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
153	116	nnne0d 10651	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
154	152, 153, 47	cxpefd 23650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
155	151, 154	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	7, 48	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
157	147, 155, 156	3brtr4d 4432	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
158	57	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
159	158	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160		nn0re 10875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
161	160	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
162	161	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
163	159, 162	mulcomd 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
164	163	oveq2d 6304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
166	165, 161, 159	cxpmuld 23672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
167		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
168		cxpexp 23606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
169	81, 167, 168	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
170		ax-1cn 9594	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
171	64	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
172		negsub 9919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
173	170, 171, 172	sylancr 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	173	eqcomd 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
175	169, 174	oveq12d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
176	164, 166, 175	3eqtrd 2488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	57	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
178	165, 177, 162	cxpmuld 23672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) )
179		2nn 10764	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
180		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
181	179, 180	mpan 675	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	181	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	nncnd 10622	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
184	182	nnne0d 10651	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
185		1cnd 9656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
186	41	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 23655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
189		cxpexp 23606	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
190	60, 189	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	183	cxp1d 23644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
192	191	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	179, 167, 180	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
195		oveq1 6295	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
196		ovex 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
197	195, 4, 196	fvmpt 5946	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
198	194, 197	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
199	198	oveq2d 6304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2494	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
201	100, 102, 157, 200	climcnds 13902	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
202	96, 201	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 13872	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   RR+crp 11299   seqcseq 12210   ^cexp 12269   Recre 13153   Imcim 13154   abscabs 13290   ~~> cli 13541   expce 14107   logclog 23497   ^c ccxp 23498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-cxp 23500

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  23950