Theorem zetacvg 24752

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^ c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10477	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10267	. . 3 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
5		eqid 2404	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) )
6		ovex 6065	. . . . 5 |- ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5765	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
8	7	adantl 453	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
9		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^ c -u S ) )
10		nncn 9964	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
11	10	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
12		nnne0 9988	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
13	12	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
14		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
15	14	negcld 9354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
16	15	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
17	11, 13, 16	cxpefd 20556	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^ c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
19	18	fveq2d 5691	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
20		nnrp 10577	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
21	20	relogcld 20471	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
22	21	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
23		mulcl 9030	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24	15, 22, 23	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
25		absef 12753	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
27		remul 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	15, 22, 27	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
29	14	renegd 11969	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
30	21	rered 11984	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
31	29, 30	oveqan12d 6059	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
32	21	reim0d 11985	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
33	32	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
34		imcl 11871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
35	34	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
37	36	mul01d 9221	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
38	33, 37	sylan9eqr 2458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
39	31, 38	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
40	14	recld 11954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
41	40	renegcld 9420	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
42	41	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
43		mulcl 9030	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	42, 22, 43	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
45	44	subid1d 9356	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	28, 39, 45	3eqtrd 2440	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
47	46	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
48	42	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
49	11, 13, 48	cxpefd 20556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
50	47, 49	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
51	19, 26, 50	3eqtrd 2440	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
52	8, 51	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
53	11, 16	cxpcld 20552	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^ c -u S ) e. CC )
54	9, 53	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
55		2rp 10573	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
56		1re 9046	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
57		resubcl 9321	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58	56, 40, 57	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
59		rpcxpcl 20520	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	55, 58, 59	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
61	60	rpcnd 10606	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
62		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
63		recl 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
64	63	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
66	65	addid2d 9223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
67	62, 66	breqtrrd 4198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
68		0re 9047	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
69		ltsubadd 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	56, 68, 69	mp3an13 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	40, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
72	67, 71	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
73		2re 10025	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
74		1lt2 10098	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
75		cxplt 20538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^ c 0 ) ) )
76	73, 74, 75	mpanl12 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^ c 0 ) ) )
77	58, 68, 76	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^ c 0 ) ) )
78	72, 77	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^ c 0 ) )
79	60	rprege0d 10611	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
80		absid 12056	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
82		2cn 10026	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
83		cxp0 20514	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ c 0 ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ c 0 ) = 1
85	84	eqcomi 2408	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^ c 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^ c 0 ) )
87	78, 81, 86	3brtr4d 4202	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
88		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
89		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
90		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
91	88, 89, 90	fvmpt 5765	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	91	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
93	61, 87, 92	geolim 12602	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
94		seqex 11280	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
95		ovex 6065	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
96	94, 95	breldm 5033	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97	93, 96	syl 16	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
98		rpcxpcl 20520	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	20, 41, 98	syl2anr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
100	99	rpred 10604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
101	8, 100	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
102	99	rpge0d 10608	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^ c -u ( Re ` S ) ) )
103	102, 8	breqtrrd 4198	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
104		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
105	104	lep1d 9898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
106	20	reeflogd 20472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
107		peano2nn 9968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
108	107	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
109	108	reeflogd 20472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
110	105, 106, 109	3brtr4d 4202	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
111	108	relogcld 20471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
112		efle 12674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	21, 111, 112	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	114	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
116	21	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
117	107	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
119	118	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
120	40	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
121	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
122	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
123		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
125	121, 122, 40, 124, 62	lttrd 9187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
126	125	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
127		lemul2 9819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	116, 119, 120, 126, 127	syl112anc 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
129	115, 128	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
130		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131	40, 21, 130	syl2an 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
132		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	40, 111, 132	syl2an 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
134	131, 133	lenegd 9561	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
136	111	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
137		mulneg1 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138	65, 136, 137	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
139		mulneg1 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	65, 22, 139	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141	135, 138, 140	3brtr4d 4202	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
142		remulcl 9031	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143	41, 111, 142	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
144		remulcl 9031	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145	41, 21, 144	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
146		efle 12674	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	143, 145, 146	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
148	141, 147	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
149		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
150		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^ c -u ( Re ` S ) ) e. _V
151	149, 5, 150	fvmpt 5765	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
152	117, 151	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
153	117	nncnd 9972	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
154	117	nnne0d 10000	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
155	153, 154, 48	cxpefd 20556	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^ c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	152, 155	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
157	8, 49	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
158	148, 156, 157	3brtr4d 4202	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
159	58	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160	159	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
161		nn0re 10186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
162	161	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
163	162	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
164	160, 163	mulcomd 9065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
165	164	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^ c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
166	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
167	166, 162, 160	cxpmuld 20578	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^ c m ) ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
168		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
169		cxpexp 20512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c m ) = ( 2 ^ m ) )
170	82, 168, 169	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c m ) = ( 2 ^ m ) )
171		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
172	65	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
173		negsub 9305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	171, 172, 173	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
175	174	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
176	170, 175	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ c m ) ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^ c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	165, 167, 176	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^ c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
178	58	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
179	166, 178, 163	cxpmuld 20578	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ c m ) )
180		2nn 10089	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
181		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	180, 181	mpan 652	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
184	183	nncnd 9972	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
185	183	nnne0d 10000	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
186	171	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
187	42	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
188	184, 185, 186, 187	cxpaddd 20561	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^ c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^ c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) )
189	177, 179, 188	3eqtr3d 2444	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^ c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) )
190		cxpexp 20512	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ c m ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	61, 190	sylan 458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ c m ) = ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
192	184	cxp1d 20550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^ c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
193	192	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^ c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	189, 191, 193	3eqtr3d 2444	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) )
195	180, 168, 181	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
196		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
197		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 5765	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
199	195, 198	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) )
200	199	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^ c -u ( Re ` S ) ) ) )
201	194, 92, 200	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
202	101, 103, 158, 201	climcnds 12586	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
203	97, 202	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
204	1, 3, 52, 54, 203	abscvgcvg 12553	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   seq cseq 11278   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   ~~> cli 12233   expce 12619   logclog 20405   ^ c ccxp 20406

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  24769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408