Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zetacvg Structured version   Unicode version

Theorem zetacvg 26848
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10883 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10663 . . 3  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 6087 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
5 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
6 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
87adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
9 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
10 nncn 10317 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
1110adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
12 nnne0 10341 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1312adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
14 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1514negcld 9693 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1615adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1711, 13, 16cxpefd 22041 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
189, 17eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1918fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
20 nnrp 10987 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2120relogcld 21956 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2221recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
23 mulcl 9353 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2415, 22, 23syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
25 absef 13463 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
27 remul 12601 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2815, 22, 27syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2914renegd 12681 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
3021rered 12696 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3129, 30oveqan12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3221reim0d 12697 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3332oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
34 imcl 12583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3534recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3615, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3736mul01d 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3833, 37sylan9eqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3931, 38oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
4014recld 12666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4140renegcld 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4241recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
43 mulcl 9353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4442, 22, 43syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4544subid1d 9695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4628, 39, 453eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4746fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4842adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4911, 13, 48cxpefd 22041 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
5047, 49eqtr4d 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
5119, 26, 503eqtrd 2469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
528, 51eqtr4d 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5311, 16cxpcld 22037 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  e.  CC )
549, 53eqeltrd 2507 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
55 2rp 10983 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
56 1re 9372 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
57 resubcl 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5856, 40, 57sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
59 rpcxpcl 22005 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6055, 58, 59sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6160rpcnd 11016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
62 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
63 recl 12582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6463recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6514, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6665addid2d 9557 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6762, 66breqtrrd 4306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
68 0re 9373 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 ltsubadd 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7056, 68, 69mp3an13 1298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7140, 70syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
73 2re 10378 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
74 1lt2 10475 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
75 cxplt 22023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7673, 74, 75mpanl12 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7758, 68, 76sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7872, 77mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^c  0 ) )
7960rprege0d 11021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
80 absid 12768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
82 2cn 10379 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
83 cxp0 21999 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^c  0 )  =  1 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^c  0 )  =  1
8584eqcomi 2437 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^c  0 )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^c  0 ) )
8778, 81, 863brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
88 oveq2 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
89 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
90 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9188, 89, 90fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9291adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9361, 87, 92geolim 13312 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
94 seqex 11791 . . . . 5  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
95 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9694, 95breldm 5031 . . . 4  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9793, 96syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
98 rpcxpcl 22005 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9920, 41, 98syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
10099rpred 11014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1018, 100eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10299rpge0d 11018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^c  -u ( Re `  S
) ) )
103102, 8breqtrrd 4306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
104 nnre 10316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
105104lep1d 10251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10620reeflogd 21957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
107 peano2nn 10321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
109108reeflogd 21957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
110105, 106, 1093brtr4d 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
111108relogcld 21956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
112 efle 13384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11321, 111, 112syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
115114adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11621adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
117107adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117nnrpd 11013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
119118relogcld 21956 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
12040adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12256a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
123 0lt1 9849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
125121, 122, 40, 124, 62lttrd 9519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
126125adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
127 lemul2 10169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128116, 119, 120, 126, 127syl112anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
129115, 128mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
130 remulcl 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13140, 21, 130syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
132 remulcl 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13340, 111, 132syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
134131, 133lenegd 9905 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
135129, 134mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
136111recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
137 mulneg1 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13865, 136, 137syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
139 mulneg1 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
14065, 22, 139syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
141135, 138, 1403brtr4d 4310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
142 remulcl 9354 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14341, 111, 142syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
144 remulcl 9354 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14541, 21, 144syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
146 efle 13384 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147143, 145, 146syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
148141, 147mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
149 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
150 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
151149, 5, 150fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
152117, 151syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
153117nncnd 10325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
154117nnne0d 10353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
155153, 154, 48cxpefd 22041 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156152, 155eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1578, 49eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
158148, 156, 1573brtr4d 4310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15958recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
160159adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
161 nn0re 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
162161adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
163162recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
164160, 163mulcomd 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
165164oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
167166, 162, 160cxpmuld 22063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
168 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
169 cxpexp 21997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^c 
m )  =  ( 2 ^ m ) )
17082, 168, 169sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
171 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17265adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
173 negsub 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
174171, 172, 173sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
175174eqcomd 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
176170, 175oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
177165, 167, 1763eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17858adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
179166, 178, 163cxpmuld 22063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^c  m ) )
180 2nn 10466 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
181 nnexpcl 11861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
182180, 181mpan 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
184183nncnd 10325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
185183nnne0d 10353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
186171a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18742adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
188184, 185, 186, 187cxpaddd 22046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )
189177, 179, 1883eqtr3d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
190 cxpexp 21997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
m ) )
19161, 190sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
192184cxp1d 22035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
193192oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
194189, 191, 1933eqtr3d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) )
195180, 168, 181sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
196 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
197 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
199195, 198syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
200199oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
201194, 92, 2003eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
202101, 103, 158, 201climcnds 13296 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20397, 202mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2041, 3, 52, 54, 203abscvgcvg 13264 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   RR+crp 10978    seqcseq 11789   ^cexp 11848   Recre 12569   Imcim 12570   abscabs 12706    ~~> cli 12945   expce 13329   logclog 21890    ^c ccxp 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26865
  Copyright terms: Public domain W3C validator