Theorem zetacvg 28197

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11113	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10890	. . 3 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		oveq1 6289	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
5		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) )
6		ovex 6307	. . . . 5 |- ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5948	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
9		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )
10		nncn 10540	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
11	10	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
12		nnne0 10564	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
13	12	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
14		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
15	14	negcld 9913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
17	11, 13, 16	cxpefd 22821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
19	18	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
20		nnrp 11225	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
21	20	relogcld 22736	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
22	21	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
23		mulcl 9572	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24	15, 22, 23	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
25		absef 13789	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
27		remul 12921	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	15, 22, 27	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
29	14	renegd 13001	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
30	21	rered 13016	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
31	29, 30	oveqan12d 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
32	21	reim0d 13017	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
33	32	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
34		imcl 12903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
35	34	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
37	36	mul01d 9774	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
38	33, 37	sylan9eqr 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
39	31, 38	oveq12d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
40	14	recld 12986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
41	40	renegcld 9982	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
42	41	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
43		mulcl 9572	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	42, 22, 43	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
45	44	subid1d 9915	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	28, 39, 45	3eqtrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
47	46	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
48	42	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
49	11, 13, 48	cxpefd 22821	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
50	47, 49	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
51	19, 26, 50	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
52	8, 51	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
53	11, 16	cxpcld 22817	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) e. CC )
54	9, 53	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
55		2rp 11221	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
56		1re 9591	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
57		resubcl 9879	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58	56, 40, 57	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
59		rpcxpcl 22785	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	55, 58, 59	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
61	60	rpcnd 11254	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
62		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
63		recl 12902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
64	63	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
66	65	addid2d 9776	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
67	62, 66	breqtrrd 4473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
68		0re 9592	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
69		ltsubadd 10018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	56, 68, 69	mp3an13 1315	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	40, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
73		2re 10601	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
74		1lt2 10698	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
75		cxplt 22803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
76	73, 74, 75	mpanl12 682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
77	58, 68, 76	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
78	72, 77	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) )
79	60	rprege0d 11259	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
80		absid 13088	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
82		2cn 10602	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
83		cxp0 22779	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^c 0 ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^c 0 ) = 1
85	84	eqcomi 2480	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^c 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^c 0 ) )
87	78, 81, 86	3brtr4d 4477	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
88		oveq2 6290	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
89		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
90		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
91	88, 89, 90	fvmpt 5948	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	91	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
93	61, 87, 92	geolim 13638	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
94		seqex 12073	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
95		ovex 6307	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
96	94, 95	breldm 5205	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97	93, 96	syl 16	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
98		rpcxpcl 22785	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	20, 41, 98	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
100	99	rpred 11252	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
101	8, 100	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
102	99	rpge0d 11256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
103	102, 8	breqtrrd 4473	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
104		nnre 10539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
105	104	lep1d 10473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
106	20	reeflogd 22737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
107		peano2nn 10544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
108	107	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
109	108	reeflogd 22737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
110	105, 106, 109	3brtr4d 4477	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
111	108	relogcld 22736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
112		efle 13710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	21, 111, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	114	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
116	21	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
117	107	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
119	118	relogcld 22736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
120	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
121	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
122	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
123		0lt1 10071	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
125	121, 122, 40, 124, 62	lttrd 9738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
126	125	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
127		lemul2 10391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	116, 119, 120, 126, 127	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
129	115, 128	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
130		remulcl 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131	40, 21, 130	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
132		remulcl 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	40, 111, 132	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
134	131, 133	lenegd 10127	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
136	111	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
137		mulneg1 9989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138	65, 136, 137	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
139		mulneg1 9989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	65, 22, 139	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141	135, 138, 140	3brtr4d 4477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
142		remulcl 9573	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143	41, 111, 142	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
144		remulcl 9573	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145	41, 21, 144	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
146		efle 13710	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	143, 145, 146	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
148	141, 147	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
149		oveq1 6289	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
150		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
151	149, 5, 150	fvmpt 5948	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
152	117, 151	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
153	117	nncnd 10548	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
154	117	nnne0d 10576	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
155	153, 154, 48	cxpefd 22821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	152, 155	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
157	8, 49	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
158	148, 156, 157	3brtr4d 4477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
159	58	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160	159	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
161		nn0re 10800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
163	162	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
164	160, 163	mulcomd 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
165	164	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
166	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
167	166, 162, 160	cxpmuld 22843	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
168		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
169		cxpexp 22777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
170	82, 168, 169	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
171		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
172	65	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
173		negsub 9863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	171, 172, 173	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
175	174	eqcomd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
176	170, 175	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	165, 167, 176	3eqtrd 2512	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
178	58	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
179	166, 178, 163	cxpmuld 22843	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) )
180		2nn 10689	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
181		nnexpcl 12143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	180, 181	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
184	183	nncnd 10548	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
185	183	nnne0d 10576	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
186	171	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
187	42	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
188	184, 185, 186, 187	cxpaddd 22826	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
189	177, 179, 188	3eqtr3d 2516	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
190		cxpexp 22777	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	61, 190	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
192	184	cxp1d 22815	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
193	192	oveq1d 6297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	189, 191, 193	3eqtr3d 2516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
195	180, 168, 181	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
196		oveq1 6289	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
197		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 5948	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
199	195, 198	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
200	199	oveq2d 6298	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
201	194, 92, 200	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
202	101, 103, 158, 201	climcnds 13622	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
203	97, 202	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
204	1, 3, 52, 54, 203	abscvgcvg 13592	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   -ucneg 9802   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11216   seqcseq 12071   ^cexp 12130   Recre 12889   Imcim 12890   abscabs 13026   ~~> cli 13266   expce 13655   logclog 22670   ^c ccxp 22671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  28214