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Theorem zetacvg 23933
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11191 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10965 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 oveq1 6295 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
4 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
5 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5946 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
76adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
8 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^c  -u S ) )
9 nncn 10614 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
109adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
11 nnne0 10639 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1211adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1413negcld 9970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1514adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1610, 12, 15cxpefd 23650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
178, 16eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1817fveq2d 5867 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
19 nnrp 11308 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019relogcld 23565 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2120recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
22 mulcl 9620 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2314, 21, 22syl2an 480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
24 absef 14244 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2523, 24syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
26 remul 13185 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2714, 21, 26syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2813renegd 13265 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
2920rered 13280 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3028, 29oveqan12d 6307 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3120reim0d 13281 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3231oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
33 imcl 13167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3433recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3635mul01d 9829 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3732, 36sylan9eqr 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3830, 37oveq12d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
3913recld 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4039renegcld 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4140recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
42 mulcl 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4341, 21, 42syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4443subid1d 9972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4527, 38, 443eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4645fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4741adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4810, 12, 47cxpefd 23650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4946, 48eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
) )
5018, 25, 493eqtrd 2488 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
517, 50eqtr4d 2487 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5210, 15cxpcld 23646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u S
)  e.  CC )
538, 52eqeltrd 2528 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
54 2rp 11304 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
55 1re 9639 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
56 resubcl 9935 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5755, 39, 56sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
58 rpcxpcl 23614 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
5954, 57, 58sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6059rpcnd 11340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
62 recl 13166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6362recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6564addid2d 9831 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6661, 65breqtrrd 4428 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
67 0re 9640 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
68 ltsubadd 10081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
6955, 67, 68mp3an13 1354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7166, 70mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
72 2re 10676 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
73 1lt2 10773 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
74 cxplt 23632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7657, 67, 75sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^c  0 ) ) )
7771, 76mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^c  0 ) )
7859rprege0d 11345 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
79 absid 13352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8078, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
81 2cn 10677 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
82 cxp0 23608 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^c  0 )  =  1 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^c  0 )  =  1
8483eqcomi 2459 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^c  0 )
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^c  0 ) )
8677, 80, 853brtr4d 4432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
87 oveq2 6296 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
88 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
89 ovex 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9087, 88, 89fvmpt 5946 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9190adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9260, 86, 91geolim 13919 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
93 seqex 12212 . . . . 5  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
94 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9593, 94breldm 5038 . . . 4  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9692, 95syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
97 rpcxpcl 23614 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9819, 40, 97syl2anr 481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
9998rpred 11338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1007, 99eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10198rpge0d 11342 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^c  -u ( Re `  S
) ) )
102101, 7breqtrrd 4428 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
103 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
104103lep1d 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10519reeflogd 23566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
106 peano2nn 10618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
107106nnrpd 11336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
108107reeflogd 23566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
109104, 105, 1083brtr4d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
110107relogcld 23565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
111 efle 14165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11220, 110, 111syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11520adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
116106adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
117116nnrpd 11336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
118117relogcld 23565 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
11939adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
122 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
125124adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
126 lemul2 10455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128114, 127mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
129 remulcl 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13039, 20, 129syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
131 remulcl 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13239, 110, 131syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
133130, 132lenegd 10189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
134128, 133mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
135110recnd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
136 mulneg1 10052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13764, 135, 136syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
138 mulneg1 10052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
13964, 21, 138syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
140134, 137, 1393brtr4d 4432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
141 remulcl 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14240, 110, 141syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14440, 20, 143syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
145 efle 14165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
146142, 144, 145syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147140, 146mpbid 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
148 oveq1 6295 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
149 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
150148, 4, 149fvmpt 5946 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
151116, 150syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
152116nncnd 10622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
153116nnne0d 10651 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
154152, 153, 47cxpefd 23650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
155151, 154eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1567, 48eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
157147, 155, 1563brtr4d 4432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15857recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
159158adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
160 nn0re 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
161160adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
162161recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
163159, 162mulcomd 9661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
164163oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
166165, 161, 159cxpmuld 23672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
167 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
168 cxpexp 23606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^c 
m )  =  ( 2 ^ m ) )
16981, 167, 168sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
170 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17164adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
172 negsub 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
173170, 171, 172sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
174173eqcomd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
175169, 174oveq12d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  m )  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
176164, 166, 1753eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17757adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
178165, 177, 162cxpmuld 23672 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^c  m ) )
179 2nn 10764 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
180 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
181179, 180mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
182181adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182nncnd 10622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
184182nnne0d 10651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
185 1cnd 9656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18641adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
187183, 184, 185, 186cxpaddd 23655 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )
188176, 178, 1873eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
189 cxpexp 23606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
m ) )
19060, 189sylan 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^c  m )  =  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
191183cxp1d 23644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
192191oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
193188, 190, 1923eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) )
194179, 167, 180sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
195 oveq1 6295 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
196 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
197195, 4, 196fvmpt 5946 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^c  -u ( Re `  S ) ) )
198194, 197syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) )
199198oveq2d 6304 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )
200193, 91, 1993eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
201100, 102, 157, 200climcnds 13902 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20296, 201mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 13872 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   RR+crp 11299    seqcseq 12210   ^cexp 12269   Recre 13153   Imcim 13154   abscabs 13290    ~~> cli 13541   expce 14107   logclog 23497    ^c ccxp 23498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-cxp 23500
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  23950
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