Theorem zetacvg 27006

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10901	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10681	. . 3 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		oveq1 6103	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
5		eqid 2443	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) )
6		ovex 6121	. . . . 5 |- ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5779	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
9		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )
10		nncn 10335	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
11	10	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
12		nnne0 10359	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
13	12	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
14		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
15	14	negcld 9711	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
17	11, 13, 16	cxpefd 22162	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
19	18	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
20		nnrp 11005	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
21	20	relogcld 22077	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
22	21	recnd 9417	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
23		mulcl 9371	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24	15, 22, 23	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
25		absef 13486	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
27		remul 12623	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	15, 22, 27	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
29	14	renegd 12703	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
30	21	rered 12718	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
31	29, 30	oveqan12d 6115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
32	21	reim0d 12719	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
33	32	oveq2d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
34		imcl 12605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
35	34	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
37	36	mul01d 9573	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
38	33, 37	sylan9eqr 2497	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
39	31, 38	oveq12d 6114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
40	14	recld 12688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
41	40	renegcld 9780	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
42	41	recnd 9417	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
43		mulcl 9371	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	42, 22, 43	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
45	44	subid1d 9713	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	28, 39, 45	3eqtrd 2479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
47	46	fveq2d 5700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
48	42	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
49	11, 13, 48	cxpefd 22162	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
50	47, 49	eqtr4d 2478	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
51	19, 26, 50	3eqtrd 2479	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
52	8, 51	eqtr4d 2478	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
53	11, 16	cxpcld 22158	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) e. CC )
54	9, 53	eqeltrd 2517	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
55		2rp 11001	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
56		1re 9390	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
57		resubcl 9678	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58	56, 40, 57	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
59		rpcxpcl 22126	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	55, 58, 59	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
61	60	rpcnd 11034	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
62		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
63		recl 12604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
64	63	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
66	65	addid2d 9575	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
67	62, 66	breqtrrd 4323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
68		0re 9391	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
69		ltsubadd 9814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	56, 68, 69	mp3an13 1305	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	40, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
73		2re 10396	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
74		1lt2 10493	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
75		cxplt 22144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
76	73, 74, 75	mpanl12 682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
77	58, 68, 76	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
78	72, 77	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) )
79	60	rprege0d 11039	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
80		absid 12790	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
82		2cn 10397	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
83		cxp0 22120	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^c 0 ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^c 0 ) = 1
85	84	eqcomi 2447	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^c 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^c 0 ) )
87	78, 81, 86	3brtr4d 4327	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
88		oveq2 6104	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
89		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
90		ovex 6121	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
91	88, 89, 90	fvmpt 5779	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	91	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
93	61, 87, 92	geolim 13335	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
94		seqex 11813	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
95		ovex 6121	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
96	94, 95	breldm 5049	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97	93, 96	syl 16	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
98		rpcxpcl 22126	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	20, 41, 98	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
100	99	rpred 11032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
101	8, 100	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
102	99	rpge0d 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
103	102, 8	breqtrrd 4323	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
104		nnre 10334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
105	104	lep1d 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
106	20	reeflogd 22078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
107		peano2nn 10339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
108	107	nnrpd 11031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
109	108	reeflogd 22078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
110	105, 106, 109	3brtr4d 4327	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
111	108	relogcld 22077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
112		efle 13407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	21, 111, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	114	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
116	21	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
117	107	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117	nnrpd 11031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
119	118	relogcld 22077	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
120	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
121	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
122	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
123		0lt1 9867	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
125	121, 122, 40, 124, 62	lttrd 9537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
126	125	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
127		lemul2 10187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	116, 119, 120, 126, 127	syl112anc 1222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
129	115, 128	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
130		remulcl 9372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131	40, 21, 130	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
132		remulcl 9372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	40, 111, 132	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
134	131, 133	lenegd 9923	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
136	111	recnd 9417	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
137		mulneg1 9786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138	65, 136, 137	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
139		mulneg1 9786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	65, 22, 139	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141	135, 138, 140	3brtr4d 4327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
142		remulcl 9372	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143	41, 111, 142	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
144		remulcl 9372	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145	41, 21, 144	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
146		efle 13407	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	143, 145, 146	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
148	141, 147	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
149		oveq1 6103	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
150		ovex 6121	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
151	149, 5, 150	fvmpt 5779	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
152	117, 151	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
153	117	nncnd 10343	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
154	117	nnne0d 10371	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
155	153, 154, 48	cxpefd 22162	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	152, 155	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
157	8, 49	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
158	148, 156, 157	3brtr4d 4327	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
159	58	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160	159	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
161		nn0re 10593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
163	162	recnd 9417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
164	160, 163	mulcomd 9412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
165	164	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
166	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
167	166, 162, 160	cxpmuld 22184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
168		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
169		cxpexp 22118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
170	82, 168, 169	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
171		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
172	65	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
173		negsub 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	171, 172, 173	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
175	174	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
176	170, 175	oveq12d 6114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	165, 167, 176	3eqtrd 2479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
178	58	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
179	166, 178, 163	cxpmuld 22184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) )
180		2nn 10484	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
181		nnexpcl 11883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	180, 181	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
184	183	nncnd 10343	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
185	183	nnne0d 10371	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
186	171	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
187	42	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
188	184, 185, 186, 187	cxpaddd 22167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
189	177, 179, 188	3eqtr3d 2483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
190		cxpexp 22118	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	61, 190	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
192	184	cxp1d 22156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
193	192	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	189, 191, 193	3eqtr3d 2483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
195	180, 168, 181	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
196		oveq1 6103	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
197		ovex 6121	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 5779	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
199	195, 198	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
200	199	oveq2d 6112	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
201	194, 92, 200	3eqtr4d 2485	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
202	101, 103, 158, 201	climcnds 13319	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
203	97, 202	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
204	1, 3, 52, 54, 203	abscvgcvg 13287	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   -ucneg 9601   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996   seqcseq 11811   ^cexp 11870   Recre 12591   Imcim 12592   abscabs 12728   ~~> cli 12967   expce 13352   logclog 22011   ^c ccxp 22012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  27023