Theorem zetacvg 26848

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10883	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10663	. . 3 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		oveq1 6087	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
5		eqid 2433	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) )
6		ovex 6105	. . . . 5 |- ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5762	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
8	7	adantl 463	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
9		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )
10		nncn 10317	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
11	10	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
12		nnne0 10341	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
13	12	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
14		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
15	14	negcld 9693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
16	15	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
17	11, 13, 16	cxpefd 22041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
19	18	fveq2d 5683	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
20		nnrp 10987	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
21	20	relogcld 21956	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
22	21	recnd 9399	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
23		mulcl 9353	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24	15, 22, 23	syl2an 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
25		absef 13463	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
27		remul 12601	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	15, 22, 27	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
29	14	renegd 12681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
30	21	rered 12696	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
31	29, 30	oveqan12d 6099	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
32	21	reim0d 12697	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
33	32	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
34		imcl 12583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
35	34	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
37	36	mul01d 9555	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
38	33, 37	sylan9eqr 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
39	31, 38	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
40	14	recld 12666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
41	40	renegcld 9762	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
42	41	recnd 9399	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
43		mulcl 9353	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	42, 22, 43	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
45	44	subid1d 9695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	28, 39, 45	3eqtrd 2469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
47	46	fveq2d 5683	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
48	42	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
49	11, 13, 48	cxpefd 22041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
50	47, 49	eqtr4d 2468	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
51	19, 26, 50	3eqtrd 2469	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
52	8, 51	eqtr4d 2468	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
53	11, 16	cxpcld 22037	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) e. CC )
54	9, 53	eqeltrd 2507	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
55		2rp 10983	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
56		1re 9372	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
57		resubcl 9660	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58	56, 40, 57	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
59		rpcxpcl 22005	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	55, 58, 59	sylancr 656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
61	60	rpcnd 11016	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
62		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
63		recl 12582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
64	63	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
66	65	addid2d 9557	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
67	62, 66	breqtrrd 4306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
68		0re 9373	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
69		ltsubadd 9796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	56, 68, 69	mp3an13 1298	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	40, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
73		2re 10378	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
74		1lt2 10475	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
75		cxplt 22023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
76	73, 74, 75	mpanl12 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
77	58, 68, 76	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
78	72, 77	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) )
79	60	rprege0d 11021	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
80		absid 12768	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
82		2cn 10379	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
83		cxp0 21999	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^c 0 ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^c 0 ) = 1
85	84	eqcomi 2437	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^c 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^c 0 ) )
87	78, 81, 86	3brtr4d 4310	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
88		oveq2 6088	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
89		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
90		ovex 6105	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
91	88, 89, 90	fvmpt 5762	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	91	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
93	61, 87, 92	geolim 13312	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
94		seqex 11791	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
95		ovex 6105	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
96	94, 95	breldm 5031	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97	93, 96	syl 16	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
98		rpcxpcl 22005	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	20, 41, 98	syl2anr 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
100	99	rpred 11014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
101	8, 100	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
102	99	rpge0d 11018	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
103	102, 8	breqtrrd 4306	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
104		nnre 10316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
105	104	lep1d 10251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
106	20	reeflogd 21957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
107		peano2nn 10321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
108	107	nnrpd 11013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
109	108	reeflogd 21957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
110	105, 106, 109	3brtr4d 4310	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
111	108	relogcld 21956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
112		efle 13384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	21, 111, 112	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	114	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
116	21	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
117	107	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117	nnrpd 11013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
119	118	relogcld 21956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
120	40	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
121	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
122	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
123		0lt1 9849	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
125	121, 122, 40, 124, 62	lttrd 9519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
126	125	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
127		lemul2 10169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	116, 119, 120, 126, 127	syl112anc 1215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
129	115, 128	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
130		remulcl 9354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131	40, 21, 130	syl2an 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
132		remulcl 9354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	40, 111, 132	syl2an 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
134	131, 133	lenegd 9905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
136	111	recnd 9399	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
137		mulneg1 9768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138	65, 136, 137	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
139		mulneg1 9768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	65, 22, 139	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141	135, 138, 140	3brtr4d 4310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
142		remulcl 9354	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143	41, 111, 142	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
144		remulcl 9354	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145	41, 21, 144	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
146		efle 13384	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	143, 145, 146	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
148	141, 147	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
149		oveq1 6087	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
150		ovex 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
151	149, 5, 150	fvmpt 5762	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
152	117, 151	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
153	117	nncnd 10325	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
154	117	nnne0d 10353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
155	153, 154, 48	cxpefd 22041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	152, 155	eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
157	8, 49	eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
158	148, 156, 157	3brtr4d 4310	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
159	58	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160	159	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
161		nn0re 10575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
162	161	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
163	162	recnd 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
164	160, 163	mulcomd 9394	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
165	164	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
166	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
167	166, 162, 160	cxpmuld 22063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
168		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
169		cxpexp 21997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
170	82, 168, 169	sylancr 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
171		ax-1cn 9327	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
172	65	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
173		negsub 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	171, 172, 173	sylancr 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
175	174	eqcomd 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
176	170, 175	oveq12d 6098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	165, 167, 176	3eqtrd 2469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
178	58	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
179	166, 178, 163	cxpmuld 22063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) )
180		2nn 10466	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
181		nnexpcl 11861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	180, 181	mpan 663	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
184	183	nncnd 10325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
185	183	nnne0d 10353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
186	171	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
187	42	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
188	184, 185, 186, 187	cxpaddd 22046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
189	177, 179, 188	3eqtr3d 2473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
190		cxpexp 21997	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	61, 190	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
192	184	cxp1d 22035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
193	192	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	189, 191, 193	3eqtr3d 2473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
195	180, 168, 181	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
196		oveq1 6087	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
197		ovex 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 5762	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
199	195, 198	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
200	199	oveq2d 6096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
201	194, 92, 200	3eqtr4d 2475	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
202	101, 103, 158, 201	climcnds 13296	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
203	97, 202	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
204	1, 3, 52, 54, 203	abscvgcvg 13264	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   -ucneg 9583   / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   RR+crp 10978   seqcseq 11789   ^cexp 11848   Recre 12569   Imcim 12570   abscabs 12706   ~~> cli 12945   expce 13329   logclog 21890   ^c ccxp 21891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26865