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Theorem zesq 11985
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 10649 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 sqval 11923 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
43oveq1d 6104 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( N  x.  N )  / 
2 ) )
5 2cnd 10392 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 10412 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
81, 1, 5, 7divassd 10140 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  N
)  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
94, 8eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2 ) ) )
11 zmulcl 10691 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( N  /  2
) )  e.  ZZ )
1210, 11eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ )
131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
14 sqcl 11926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N ^
2 )  e.  CC )
16 peano2cn 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1817halfcld 10567 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  CC )
1918, 13pncand 9718 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 ) )
20 binom21 11980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
22 peano2cn 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  + 
1 )  e.  CC )
24 sqval 11923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
26 2cn 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
27 mulcl 9364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
2826, 13, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
29 ax-1cn 9338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3115, 28, 30add32d 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3221, 25, 313eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3332oveq1d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 ) )
34 2cnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
356a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  =/=  0
)
3623, 23, 34, 35divassd 10140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3717, 28, 34, 35divdird 10143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  2 ) ) )
3813, 34, 35divcan3d 10110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
2 )  =  N )
3938oveq2d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4037, 39eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4133, 36, 403eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
42 peano2z 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
43 zmulcl 10691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4442, 43sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4541, 44eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  e.  ZZ )
46 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4745, 46zsubcld 10750 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
4819, 47eqeltrrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
4948ex 434 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5049con3d 133 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
51 zsqcl 11934 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
52 zeo2 10726 . . . . 5  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5351, 52syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
54 zeo2 10726 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5550, 53, 543imtr4d 268 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
5655imp 429 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ )
5712, 56impbida 828 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604  (class class class)co 6089   CCcc 9278   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    - cmin 9593    / cdiv 9991   2c2 10369   ZZcz 10644   ^cexp 11863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-seq 11805  df-exp 11864
This theorem is referenced by:  nnesq  11986  sqr2irrlem  13528
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