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Theorem zeo 10727
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 10648 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 10392 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 2ne0 10414 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
53, 4div0i 10065 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 10657 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2531 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nnz 10668 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
1211con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( N  /  2
)  e.  NN )
13 nneo 10725 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1413biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1514con1d 124 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
16 nnz 10668 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1712, 15, 16syl56 34 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
19 recn 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divneg 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 9710 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3130con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
32 nneo 10725 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  <->  -.  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
3332biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
3433con1d 124 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
35 nnz 10668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
36 peano2zm 10688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
37 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3837, 3negsubdi2i 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4038, 39eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
4137, 3subcli 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
4237, 41negcon2i 9691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
4340, 42mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
4443oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
45 negcl 9610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
46 addsubass 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4737, 3, 46mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
49 negdi 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
5037, 49mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
5144, 48, 503eqtr4a 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
5251oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
53 peano2cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5445, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
55 2cnne0 10536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
56 divsubdir 10027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( -u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
573, 55, 56mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
59 2div2e1 10444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
6059eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
6160oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
6258, 61syl6reqr 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
63 peano2cn 9541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
64 divneg 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
653, 4, 64mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6752, 62, 663eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6819, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6968eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7036, 69syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
71 znegcl 10680 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7270, 71syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
73 peano2re 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7473recnd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7574halfcld 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7675negnegd 9710 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7872, 77sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7935, 78syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8034, 79sylan9r 658 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8131, 80syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8210, 18, 813jaodan 1284 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
831, 82sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483orrd 378 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ZZcz 10646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647
This theorem is referenced by:  zeo2  10728  iseralt  13162  abssinper  21980  atantayl2  22333  basellem3  22420  chtub  22551  lgseisenlem1  22688
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