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Theorem zeo 11021
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 10939 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 10680 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 2ne0 10702 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
53, 4div0i 10340 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 10948 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98pm2.24d 137 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
109adantl 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nnz 10959 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
1211con3i 140 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( N  /  2
)  e.  NN )
13 nneo 11019 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1413biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1514con1d 127 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
16 nnz 10959 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1712, 15, 16syl56 35 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817adantl 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
19 recn 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divneg 10301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 232 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 217 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3029adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3130con3d 138 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
32 nneo 11019 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  <->  -.  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
3332biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
3433con1d 127 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
35 nnz 10959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
36 peano2zm 10980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
37 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3837, 3negsubdi2i 9960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4038, 39eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
4137, 3subcli 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
4237, 41negcon2i 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
4340, 42mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
4443oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
45 negcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
46 addsubass 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4737, 3, 46mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
49 negdi 9930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
5037, 49mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
5144, 48, 503eqtr4a 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
5251oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
53 peano2cn 9804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5445, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
55 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
56 divsubdir 10302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( -u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
573, 55, 56mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
59 2div2e1 10732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
6059eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
6160oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
6258, 61syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
63 peano2cn 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
64 divneg 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
653, 4, 64mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6752, 62, 663eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6819, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6968eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7036, 69syl5ib 222 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
71 znegcl 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7270, 71syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
73 peano2re 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7473recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7574halfcld 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7675negnegd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7776eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7872, 77sylibd 217 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7935, 78syl5 33 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8034, 79sylan9r 662 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8131, 80syld 45 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8210, 18, 813jaodan 1330 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
831, 82sylbi 198 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483orrd 379 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938
This theorem is referenced by:  zeo2  11022  iseralt  13729  abssinper  23338  atantayl2  23729  basellem3  23872  chtub  24003  lgseisenlem1  24140  sumnnodd  37282  mod2eq1n2dvds  38115  elmod2OLD  38116  zeoALTV  38189  nn0eo  39096
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