Theorem zeo 7411

Description: An integer is even or odd.

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- (N e. ZZ -> ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 7346	. . 3 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
2		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N / 2) = (0 / 2))
3		2cn 7164	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
4		2ne0 7174	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
5	3, 4	div0i 6947	. . . . . . . 8 |- (0 / 2) = 0
6		0z 7355	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- (0 / 2) e. ZZ
8	2, 7	syl6eqel 1979	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (N / 2) e. ZZ)
9	8	pm2.24d 120	. . . . 5 |- (N = 0 -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
10	9	adantl 424	. . . 4 |- ((N e. RR /\ N = 0) -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
11		nneo 7410	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN))
12	11	biimprd 171	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (-. ((N + 1) / 2) e. NN -> (N / 2) e. NN))
13	12	con1d 109	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (-. (N / 2) e. NN -> ((N + 1) / 2) e. NN))
14		nnz 7362	. . . . . . . 8 |- ((N / 2) e. NN -> (N / 2) e. ZZ)
15	14	con3i 114	. . . . . . 7 |- (-. (N / 2) e. ZZ -> -. (N / 2) e. NN)
16	13, 15	syl5 20	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. NN))
17		nnz 7362	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) e. NN -> ((N + 1) / 2) e. ZZ)
18	16, 17	syl6 25	. . . . 5 |- (N e. NN -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
19	18	adantl 424	. . . 4 |- ((N e. RR /\ N e. NN) -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
20		recn 6466	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N e. CC)
21		divneg 6950	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> -u(N / 2) = (-uN / 2))
22	3, 4, 21	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. CC -> -u(N / 2) = (-uN / 2))
23	20, 22	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> -u(N / 2) = (-uN / 2))
24	23	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (-u(N / 2) e. NN <-> (-uN / 2) e. NN))
25		nnnegz 7347	. . . . . . . . 9 |- (-u(N / 2) e. NN -> -u-u(N / 2) e. ZZ)
26	24, 25	syl6bir 232	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> ((-uN / 2) e. NN -> -u-u(N / 2) e. ZZ))
27		halfcl 7219	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N / 2) e. CC)
28		negneg 6553	. . . . . . . . . 10 |- ((N / 2) e. CC -> -u-u(N / 2) = (N / 2))
29	20, 27, 28	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> -u-u(N / 2) = (N / 2))
30	29	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (-u-u(N / 2) e. ZZ <-> (N / 2) e. ZZ))
31	26, 30	sylibd 219	. . . . . . 7 |- (N e. RR -> ((-uN / 2) e. NN -> (N / 2) e. ZZ))
32	31	adantr 425	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ -uN e. NN) -> ((-uN / 2) e. NN -> (N / 2) e. ZZ))
33	32	con3d 111	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ -uN e. NN) -> (-. (N / 2) e. ZZ -> -. (-uN / 2) e. NN))
34		nneo 7410	. . . . . . . 8 |- (-uN e. NN -> ((-uN / 2) e. NN <-> -. ((-uN + 1) / 2) e. NN))
35	34	biimprd 171	. . . . . . 7 |- (-uN e. NN -> (-. ((-uN + 1) / 2) e. NN -> (-uN / 2) e. NN))
36	35	con1d 109	. . . . . 6 |- (-uN e. NN -> (-. (-uN / 2) e. NN -> ((-uN + 1) / 2) e. NN))
37		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
38	37, 3	negsubdi2i 6614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u(1 - 2) = (2 - 1)
39		df-2 7154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = (1 + 1)
40	39	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1 + 1) = 2
41	3, 37, 37, 40	subaddrii 6529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2 - 1) = 1
42	38, 41	eqtr2i 1909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u(1 - 2)
43	37, 3	subcli 6523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1 - 2) e. CC
44	37, 43	negcon2i 6568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1 = -u(1 - 2) <-> (1 - 2) = -u1)
45	42, 44	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1 - 2) = -u1
46	45	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-uN + (1 - 2)) = (-uN + -u1)
47		negcl 6525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (N e. CC -> -uN e. CC)
48		addsubass 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-uN e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) -> ((-uN + 1) - 2) = (-uN + (1 - 2)))
49	37, 3, 48	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-uN e. CC -> ((-uN + 1) - 2) = (-uN + (1 - 2)))
50	47, 49	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N e. CC -> ((-uN + 1) - 2) = (-uN + (1 - 2)))
51		negdi 6620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> -u(N + 1) = (-uN + -u1))
52	37, 51	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N e. CC -> -u(N + 1) = (-uN + -u1))
53	46, 50, 52	3eqtr4a 1954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. CC -> ((-uN + 1) - 2) = -u(N + 1))
54	53	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. CC -> (((-uN + 1) - 2) / 2) = (-u(N + 1) / 2))
55		peano2cn 6498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-uN e. CC -> (-uN + 1) e. CC)
56	3, 4	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
57		divsubdir 6951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((-uN + 1) e. CC /\ 2 e. CC /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> (((-uN + 1) - 2) / 2) = (((-uN + 1) / 2) - (2 / 2)))
58	3, 56, 57	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN + 1) e. CC -> (((-uN + 1) - 2) / 2) = (((-uN + 1) / 2) - (2 / 2)))
59	47, 55, 58	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. CC -> (((-uN + 1) - 2) / 2) = (((-uN + 1) / 2) - (2 / 2)))
60	3, 4	dividi 6946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 / 2) = 1
61	60	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = (2 / 2)
62	61	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-uN + 1) / 2) - 1) = (((-uN + 1) / 2) - (2 / 2))
63	59, 62	syl6reqr 1947	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. CC -> (((-uN + 1) / 2) - 1) = (((-uN + 1) - 2) / 2))
64		peano2cn 6498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
65		divneg 6950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((N + 1) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> -u((N + 1) / 2) = (-u(N + 1) / 2))
66	3, 4, 65	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N + 1) e. CC -> -u((N + 1) / 2) = (-u(N + 1) / 2))
67	64, 66	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. CC -> -u((N + 1) / 2) = (-u(N + 1) / 2))
68	54, 63, 67	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. CC -> (((-uN + 1) / 2) - 1) = -u((N + 1) / 2))
69	20, 68	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> (((-uN + 1) / 2) - 1) = -u((N + 1) / 2))
70	69	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> ((((-uN + 1) / 2) - 1) e. ZZ <-> -u((N + 1) / 2) e. ZZ))
71		peano2zm 7378	. . . . . . . . . 10 |- (((-uN + 1) / 2) e. ZZ -> (((-uN + 1) / 2) - 1) e. ZZ)
72	70, 71	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (((-uN + 1) / 2) e. ZZ -> -u((N + 1) / 2) e. ZZ))
73		znegcl 7372	. . . . . . . . 9 |- (-u((N + 1) / 2) e. ZZ -> -u-u((N + 1) / 2) e. ZZ)
74	72, 73	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (((-uN + 1) / 2) e. ZZ -> -u-u((N + 1) / 2) e. ZZ))
75		peano2re 6599	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
76	75	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> (N + 1) e. CC)
77		halfcl 7219	. . . . . . . . . 10 |- ((N + 1) e. CC -> ((N + 1) / 2) e. CC)
78		negneg 6553	. . . . . . . . . 10 |- (((N + 1) / 2) e. CC -> -u-u((N + 1) / 2) = ((N + 1) / 2))
79	76, 77, 78	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> -u-u((N + 1) / 2) = ((N + 1) / 2))
80	79	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (-u-u((N + 1) / 2) e. ZZ <-> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
81	74, 80	sylibd 219	. . . . . . 7 |- (N e. RR -> (((-uN + 1) / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
82		nnz 7362	. . . . . . 7 |- (((-uN + 1) / 2) e. NN -> ((-uN + 1) / 2) e. ZZ)
83	81, 82	syl5 20	. . . . . 6 |- (N e. RR -> (((-uN + 1) / 2) e. NN -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
84	36, 83	sylan9r 519	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ -uN e. NN) -> (-. (-uN / 2) e. NN -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
85	33, 84	syld 30	. . . 4 |- ((N e. RR /\ -uN e. NN) -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
86	10, 19, 85	3jaodan 1163	. . 3 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
87	1, 86	sylbi 216	. 2 |- (N e. ZZ -> (-. (N / 2) e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. ZZ))
88	87	orrd 250	1 |- (N e. ZZ -> ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447  NNcn 6449  ZZcz 6451  2c2 7145

This theorem is referenced by:  flhalf 7487  abssinper 10062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain