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Theorem zeo 10311
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 10240 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 2ne0 10039 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
53, 4div0i 9704 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 10249 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2492 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98pm2.24d 137 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nnz 10259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
1211con3i 129 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( N  /  2
)  e.  NN )
13 nneo 10309 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1413biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1514con1d 118 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
16 nnz 10259 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1712, 15, 16syl56 32 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
19 recn 9036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divneg 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 10241 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 10168 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3029adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3130con3d 127 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
32 nneo 10309 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  <->  -.  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
3332biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
3433con1d 118 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
35 nnz 10259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
36 peano2zm 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
37 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3837, 3negsubdi2i 9342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4038, 39eqtr2i 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
4137, 3subcli 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
4237, 41negcon2i 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
4340, 42mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
4443oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
45 negcl 9262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
46 addsubass 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4737, 3, 46mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
49 negdi 9314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
5037, 49mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
5144, 48, 503eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
5251oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
53 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5445, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
553, 4pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
56 divsubdir 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( -u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
573, 55, 56mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
593, 4dividi 9703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
6059eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
6160oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
6258, 61syl6reqr 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
63 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
64 divneg 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
653, 4, 64mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6752, 62, 663eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6819, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6968eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7036, 69syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
71 znegcl 10269 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7270, 71syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
73 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7473recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7574halfcld 10168 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7675negnegd 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7776eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7872, 77sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7935, 78syl5 30 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8034, 79sylan9r 640 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8131, 80syld 42 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8210, 18, 813jaodan 1250 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
831, 82sylbi 188 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483orrd 368 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  zeo2  10312  iseralt  12433  abssinper  20379  atantayl2  20731  basellem3  20818  chtub  20949  lgseisenlem1  21086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239
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