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Theorem zeo 10946
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 10866 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 10606 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 2ne0 10628 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
53, 4div0i 10278 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 10875 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nnz 10886 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
1211con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( N  /  2
)  e.  NN )
13 nneo 10944 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1413biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1514con1d 124 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
16 nnz 10886 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1712, 15, 16syl56 34 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
19 recn 9582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divneg 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 10867 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 10783 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
3130con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
32 nneo 10944 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  <->  -.  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
3332biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
3433con1d 124 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
35 nnz 10886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
36 peano2zm 10906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
37 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3837, 3negsubdi2i 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4038, 39eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
4137, 3subcli 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
4237, 41negcon2i 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
4340, 42mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
4443oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
45 negcl 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
46 addsubass 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4737, 3, 46mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
49 negdi 9876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
5037, 49mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
5144, 48, 503eqtr4a 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
5251oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
53 peano2cn 9751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5445, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
55 2cnne0 10750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
56 divsubdir 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( -u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
573, 55, 56mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
59 2div2e1 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
6059eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
6160oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
6258, 61syl6reqr 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
63 peano2cn 9751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
64 divneg 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
653, 4, 64mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6752, 62, 663eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6819, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6968eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7036, 69syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
71 znegcl 10898 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7270, 71syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
73 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7473recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7574halfcld 10783 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7675negnegd 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7776eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7872, 77sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7935, 78syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8034, 79sylan9r 658 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( -u N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8131, 80syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8210, 18, 813jaodan 1294 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
831, 82sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483orrd 378 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   ZZcz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865
This theorem is referenced by:  zeo2  10947  iseralt  13470  abssinper  22672  atantayl2  23025  basellem3  23112  chtub  23243  lgseisenlem1  23380  sumnnodd  31200
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