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Theorem zdis 21194
Description: The integers are a discrete set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
zdis  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 14706 . 2  |-  ( Jt  ZZ )  C_  ~P ZZ
2 elpwi 4006 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x 
C_  ZZ )
32sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ZZ )
43zcnd 10975 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  CC )
5 cnxmet 21153 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6 1rp 11233 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
7 rpxr 11236 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 21162 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110blopn 20876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
125, 8, 11mp3an13 1316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
139cnfldtop 21164 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
14 zex 10879 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
15 elrestr 14703 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
1613, 14, 15mp3an12 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J  ->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
174, 12, 163syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
18 blcntr 20789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
195, 6, 18mp3an13 1316 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
204, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2120, 3elind 3673 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
224adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
23 inss2 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ZZ
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
2523, 24sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  CC )
273adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
2827, 25zsubcld 10979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  ZZ )
2928zcnd 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 21151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3222, 26, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
33 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )
3433, 24sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
35 elbl2 20766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
365, 8, 35mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
3722, 26, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <  1 ) )
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
)
3932, 38eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  1
)
40 nn0abscl 13124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  z )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( y  -  z ) )  e. 
NN0 )
41 nn0lt10b 10931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 ) )
4228, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  =  0 ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 )
4429, 43abs00d 13256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  =  0 )
4522, 26, 44subeq0d 9944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  =  z )
46 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  x )
4745, 46eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  x )
4847ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  z  e.  x
) )
4948ssrdv 3495 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x )
50 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) ) )
51 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( z  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) 
C_  x ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) ) )
5352rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ )  /\  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5417, 21, 49, 53syl12anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5554ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
56 resttop 19534 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V )  -> 
( Jt  ZZ )  e.  Top )
5713, 14, 56mp2an 672 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
58 eltop2 19350 . . . . 5  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
6055, 59sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x  e.  ( Jt  ZZ ) )
6160ssriv 3493 . 2  |-  ~P ZZ  C_  ( Jt  ZZ )
621, 61eqssi 3505 1  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   class class class wbr 4437    o. ccom 4993   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   RR*cxr 9630    < clt 9631    - cmin 9810   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   RR+crp 11229   abscabs 13046   ↾t crest 14695   TopOpenctopn 14696   *Metcxmt 18277   ballcbl 18279  ℂfldccnfld 18294   Topctop 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-rest 14697  df-topn 14698  df-topgen 14718  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697
This theorem is referenced by:  sszcld  21195
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