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Theorem zdis 20415
Description: The integers are a discrete set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
zdis  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 14391 . 2  |-  ( Jt  ZZ )  C_  ~P ZZ
2 elpwi 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x 
C_  ZZ )
32sselda 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ZZ )
43zcnd 10769 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  CC )
5 cnxmet 20374 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6 1rp 11016 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
7 rpxr 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 20383 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110blopn 20097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
125, 8, 11mp3an13 1305 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
139cnfldtop 20385 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
14 zex 10676 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
15 elrestr 14388 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
1613, 14, 15mp3an12 1304 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J  ->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
174, 12, 163syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
18 blcntr 20010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
195, 6, 18mp3an13 1305 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
204, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2120, 3elind 3561 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
224adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
23 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ZZ
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
2523, 24sseldi 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  CC )
273adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
2827, 25zsubcld 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  ZZ )
2928zcnd 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 20372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3222, 26, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
33 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )
3433, 24sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
35 elbl2 19987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
365, 8, 35mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
3722, 26, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <  1 ) )
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
)
3932, 38eqbrtrrd 4335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  1
)
40 nn0abscl 12822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  z )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( y  -  z ) )  e. 
NN0 )
41 nn0lt10b 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 ) )
4228, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  =  0 ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 )
4429, 43abs00d 12953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  =  0 )
4522, 26, 44subeq0d 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  =  z )
46 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  x )
4745, 46eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  x )
4847ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  z  e.  x
) )
4948ssrdv 3383 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x )
50 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) ) )
51 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( z  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) 
C_  x ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) ) )
5352rspcev 3094 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ )  /\  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5417, 21, 49, 53syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5554ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
56 resttop 18786 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V )  -> 
( Jt  ZZ )  e.  Top )
5713, 14, 56mp2an 672 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
58 eltop2 18602 . . . . 5  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
6055, 59sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x  e.  ( Jt  ZZ ) )
6160ssriv 3381 . 2  |-  ~P ZZ  C_  ( Jt  ZZ )
621, 61eqssi 3393 1  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   class class class wbr 4313    o. ccom 4865   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304   RR*cxr 9438    < clt 9439    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   RR+crp 11012   abscabs 12744   ↾t crest 14380   TopOpenctopn 14381   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825  ℂfldccnfld 17840   Topctop 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-rest 14382  df-topn 14383  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918
This theorem is referenced by:  sszcld  20416
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