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Theorem zdis 21084
Description: The integers are a discrete set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
zdis  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 14687 . 2  |-  ( Jt  ZZ )  C_  ~P ZZ
2 elpwi 4019 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x 
C_  ZZ )
32sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ZZ )
43zcnd 10967 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  CC )
5 cnxmet 21043 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6 1rp 11224 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
7 rpxr 11227 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 21052 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110blopn 20766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
125, 8, 11mp3an13 1315 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
139cnfldtop 21054 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
14 zex 10873 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
15 elrestr 14684 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
1613, 14, 15mp3an12 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J  ->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
174, 12, 163syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
18 blcntr 20679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
195, 6, 18mp3an13 1315 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
204, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2120, 3elind 3688 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
224adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
23 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ZZ
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
2523, 24sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  CC )
273adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
2827, 25zsubcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  ZZ )
2928zcnd 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 21041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3222, 26, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
33 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )
3433, 24sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
35 elbl2 20656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
365, 8, 35mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
3722, 26, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <  1 ) )
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
)
3932, 38eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  1
)
40 nn0abscl 13108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  z )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( y  -  z ) )  e. 
NN0 )
41 nn0lt10b 10924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 ) )
4228, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  =  0 ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 )
4429, 43abs00d 13240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  =  0 )
4522, 26, 44subeq0d 9938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  =  z )
46 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  x )
4745, 46eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  x )
4847ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  z  e.  x
) )
4948ssrdv 3510 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x )
50 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) ) )
51 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( z  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) 
C_  x ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) ) )
5352rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ )  /\  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5417, 21, 49, 53syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5554ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
56 resttop 19455 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V )  -> 
( Jt  ZZ )  e.  Top )
5713, 14, 56mp2an 672 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
58 eltop2 19271 . . . . 5  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
6055, 59sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x  e.  ( Jt  ZZ ) )
6160ssriv 3508 . 2  |-  ~P ZZ  C_  ( Jt  ZZ )
621, 61eqssi 3520 1  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220   abscabs 13030   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204  ℂfldccnfld 18219   Topctop 19189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-xms 20586  df-ms 20587
This theorem is referenced by:  sszcld  21085
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