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Theorem zdis 21834
Description: The integers are a discrete set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
zdis  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 15330 . 2  |-  ( Jt  ZZ )  C_  ~P ZZ
2 elpwi 3960 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x 
C_  ZZ )
32sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ZZ )
43zcnd 11041 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  CC )
5 cnxmet 21793 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6 1rp 11306 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
7 rpxr 11309 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 21802 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110blopn 21515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
125, 8, 11mp3an13 1355 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
139cnfldtop 21804 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
14 zex 10946 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
15 elrestr 15327 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
1613, 14, 15mp3an12 1354 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J  ->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
174, 12, 163syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
18 blcntr 21428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
195, 6, 18mp3an13 1355 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
204, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2120, 3elind 3618 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
224adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
23 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ZZ
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
2523, 24sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  CC )
273adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
2827, 25zsubcld 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  ZZ )
2928zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
30 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 21791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3222, 26, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
33 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )
3433, 24sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
35 elbl2 21405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
365, 8, 35mpanl12 688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
3722, 26, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <  1 ) )
3834, 37mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
)
3932, 38eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  1
)
40 nn0abscl 13375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  z )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( y  -  z ) )  e. 
NN0 )
41 nn0lt10b 10998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 ) )
4228, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  =  0 ) )
4339, 42mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 )
4429, 43abs00d 13508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  =  0 )
4522, 26, 44subeq0d 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  =  z )
46 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  x )
4745, 46eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  x )
4847ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  z  e.  x
) )
4948ssrdv 3438 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x )
50 eleq2 2518 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) ) )
51 sseq1 3453 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( z  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) 
C_  x ) )
5250, 51anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) ) )
5352rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ )  /\  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5417, 21, 49, 53syl12anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5554ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
56 resttop 20176 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V )  -> 
( Jt  ZZ )  e.  Top )
5713, 14, 56mp2an 678 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
58 eltop2 19991 . . . . 5  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
6055, 59sylibr 216 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x  e.  ( Jt  ZZ ) )
6160ssriv 3436 . 2  |-  ~P ZZ  C_  ( Jt  ZZ )
621, 61eqssi 3448 1  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540   RR*cxr 9674    < clt 9675    - cmin 9860   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   abscabs 13297   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957  ℂfldccnfld 18970   Topctop 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336
This theorem is referenced by:  sszcld  21835
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