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Theorem zdis 21487
Description: The integers are a discrete set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
zdis  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 14921 . 2  |-  ( Jt  ZZ )  C_  ~P ZZ
2 elpwi 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x 
C_  ZZ )
32sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ZZ )
43zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  CC )
5 cnxmet 21446 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6 1rp 11225 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
7 rpxr 11228 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 21455 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110blopn 21169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
125, 8, 11mp3an13 1313 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)
139cnfldtop 21457 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
14 zex 10869 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
15 elrestr 14918 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J
)  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
1613, 14, 15mp3an12 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  J  ->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
174, 12, 163syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ ) )
18 blcntr 21082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
195, 6, 18mp3an13 1313 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
204, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2120, 3elind 3674 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
224adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
23 inss2 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ZZ
24 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )
2523, 24sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  CC )
273adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
2827, 25zsubcld 10970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  ZZ )
2928zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
30 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 21444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3222, 26, 31syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
33 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )
3433, 24sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
35 elbl2 21059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
365, 8, 35mpanl12 680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
) )
3722, 26, 36syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <  1 ) )
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <  1
)
3932, 38eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  1
)
40 nn0abscl 13227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  z )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( y  -  z ) )  e. 
NN0 )
41 nn0lt10b 10921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 ) )
4228, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) )  <  1  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  =  0 ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  =  0 )
4429, 43abs00d 13359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  ( y  -  z )  =  0 )
4522, 26, 44subeq0d 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  =  z )
46 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  y  e.  x )
4745, 46eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) )  ->  z  e.  x )
4847ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  z  e.  x
) )
4948ssrdv 3495 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x )
50 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) ) )
51 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( z  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ ) 
C_  x ) )
5250, 51anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) ) )
5352rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  e.  ( Jt  ZZ )  /\  ( y  e.  ( ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  i^i  ZZ )  C_  x ) )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5417, 21, 49, 53syl12anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ZZ  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
5554ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
56 resttop 19828 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  e.  _V )  -> 
( Jt  ZZ )  e.  Top )
5713, 14, 56mp2an 670 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
58 eltop2 19644 . . . . 5  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  ZZ )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( Jt  ZZ ) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
6055, 59sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ZZ  ->  x  e.  ( Jt  ZZ ) )
6160ssriv 3493 . 2  |-  ~P ZZ  C_  ( Jt  ZZ )
621, 61eqssi 3505 1  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   RR*cxr 9616    < clt 9617    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221   abscabs 13149   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911   *Metcxmt 18598   ballcbl 18600  ℂfldccnfld 18615   Topctop 19561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-xms 20989  df-ms 20990
This theorem is referenced by:  sszcld  21488
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