MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcyg Structured version   Unicode version

Theorem zcyg 18644
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) Obsolete version of zringcyg 18639 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zlpir.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zcyg  |-  Z  e. CycGrp

Proof of Theorem zcyg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18597 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 subrgsubg 17561 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
4 zlpir.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
54subgbas 16331 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
7 eqid 2457 . . 3  |-  (.g `  Z
)  =  (.g `  Z
)
84subggrp 16330 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->  Z  e. 
Grp )
93, 8mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  Z  e.  Grp )
10 1zzd 10916 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
11 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 cnfldmulg 18576 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
14 1z 10915 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
15 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (.g ` fld )  =  (.g ` fld )
1615, 4, 7subgmulg 16341 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  x  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
173, 14, 16mp3an13 1315 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g `  Z
) 1 ) )
18 zcn 10890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1918mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
2013, 17, 193eqtr3rd 2507 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
21 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  (
n (.g `  Z ) 1 )  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
2221eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( n  =  x  ->  (
x  =  ( n (.g `  Z ) 1 )  <->  x  =  (
x (.g `  Z ) 1 ) ) )
2322rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =  ( x
(.g `  Z ) 1 ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
2420, 23mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
2524adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
266, 7, 9, 10, 25iscygd 17016 . 2  |-  ( T. 
->  Z  e. CycGrp )
2726trud 1404 1  |-  Z  e. CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   E.wrex 2808   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510    x. cmul 9514   ZZcz 10885   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   Grpcgrp 16179  .gcmg 16182  SubGrpcsubg 16321  CycGrpccyg 17006  SubRingcsubrg 17551  ℂfldccnfld 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-cmn 16926  df-cyg 17007  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-subrg 17553  df-cnfld 18547
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator