MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcyg Structured version   Unicode version

Theorem zcyg 17912
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) Obsolete version of zringcyg 17907 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zlpir.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zcyg  |-  Z  e. CycGrp

Proof of Theorem zcyg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 17866 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 subrgsubg 16871 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
4 zlpir.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
54subgbas 15685 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
7 eqid 2443 . . 3  |-  (.g `  Z
)  =  (.g `  Z
)
84subggrp 15684 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->  Z  e. 
Grp )
93, 8mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  Z  e.  Grp )
10 1zzd 10677 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
11 ax-1cn 9340 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 cnfldmulg 17848 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
14 1z 10676 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (.g ` fld )  =  (.g ` fld )
1615, 4, 7subgmulg 15695 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  x  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
173, 14, 16mp3an13 1305 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g `  Z
) 1 ) )
18 zcn 10651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1918mulid1d 9403 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
2013, 17, 193eqtr3rd 2484 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
21 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  (
n (.g `  Z ) 1 )  =  ( x (.g `  Z ) 1 ) )
2221eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( n  =  x  ->  (
x  =  ( n (.g `  Z ) 1 )  <->  x  =  (
x (.g `  Z ) 1 ) ) )
2322rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =  ( x
(.g `  Z ) 1 ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
2420, 23mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
2524adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  Z ) 1 ) )
266, 7, 9, 10, 25iscygd 16364 . 2  |-  ( T. 
->  Z  e. CycGrp )
2726trud 1378 1  |-  Z  e. CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   E.wrex 2716   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283    x. cmul 9287   ZZcz 10646   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   Grpcgrp 15410  .gcmg 15414  SubGrpcsubg 15675  CycGrpccyg 16354  SubRingcsubrg 16861  ℂfldccnfld 17818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cmn 16279  df-cyg 16355  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-cnfld 17819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator