MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Unicode version

Theorem zcld 21081
Description: The integers are a closed set in the topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
zcld  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem zcld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4330 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
2 elioore 11559 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
32adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  RR )
4 eliooord 11584 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  (
x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 btwnnz 10937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  <  y  /\  y  <  ( x  +  1 ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
653expb 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
74, 6sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
83, 7eldifd 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  ( RR 
\  ZZ ) )
98rexlimiva 2951 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  ->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
10 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  RR )
1110flcld 11903 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  ZZ )
12 flle 11904 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( |_ `  y )  <_ 
y )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  <_ 
y )
14 eldifn 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  -.  y  e.  ZZ )
15 nelne2 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  -.  y  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  y )  =/=  y
)
1611, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  =/=  y )
1716necomd 2738 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  =/=  ( |_ `  y
) )
1811zred 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  RR )
1918, 10ltlend 9729 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  <  y  <->  ( ( |_ `  y )  <_ 
y  /\  y  =/=  ( |_ `  y ) ) ) )
2013, 17, 19mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  < 
y )
21 flltp1 11905 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2210, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  < 
( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2318rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e. 
RR* )
24 peano2re 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
2518, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e.  RR )
2625rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e. 
RR* )
27 elioo2 11570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  RR*  /\  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_
`  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( y  e.  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2910, 20, 22, 28mpbir3and 1179 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  x  =  ( |_ `  y ) )
31 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  y )  +  1 ) )
3230, 31oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )
3332eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
y  e.  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  <->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
3433rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
3511, 29, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
369, 35impbii 188 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
371, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
3837eqriv 2463 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( RR  \  ZZ )
39 zcld.1 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
40 retop 21031 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
4139, 40eqeltri 2551 . . . 4  |-  J  e. 
Top
42 iooretop 21036 . . . . . 6  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4342, 39eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  J
4443rgenw 2825 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
45 iunopn 19202 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ZZ  (
x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J )  ->  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) (
x  +  1 ) )  e.  J )
4641, 44, 45mp2an 672 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
4738, 46eqeltrri 2552 . 2  |-  ( RR 
\  ZZ )  e.  J
48 zssre 10871 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
49 uniretop 21032 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5039unieqi 4254 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5149, 50eqtr4i 2499 . . . 4  |-  RR  =  U. J
5251iscld2 19323 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  C_  RR )  -> 
( ZZ  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J ) )
5341, 48, 52mp2an 672 . 2  |-  ( ZZ  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J
)
5447, 53mpbir 209 1  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   ZZcz 10864   (,)cioo 11529   |_cfl 11895   topGenctg 14693   Topctop 19189   Clsdccld 19311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-ioo 11533  df-fl 11897  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-cld 19314
This theorem is referenced by:  zcld2  21083
  Copyright terms: Public domain W3C validator