MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Unicode version

Theorem zcld 21484
Description: The integers are a closed set in the topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
zcld  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem zcld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4320 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
2 elioore 11562 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
32adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  RR )
4 eliooord 11587 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  (
x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 btwnnz 10935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  <  y  /\  y  <  ( x  +  1 ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
653expb 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
74, 6sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
83, 7eldifd 3472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  ( RR 
\  ZZ ) )
98rexlimiva 2942 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  ->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
10 eldifi 3612 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  RR )
1110flcld 11916 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  ZZ )
12 flle 11917 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( |_ `  y )  <_ 
y )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  <_ 
y )
14 eldifn 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  -.  y  e.  ZZ )
15 nelne2 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  -.  y  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  y )  =/=  y
)
1611, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  =/=  y )
1716necomd 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  =/=  ( |_ `  y
) )
1811zred 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  RR )
1918, 10ltlend 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  <  y  <->  ( ( |_ `  y )  <_ 
y  /\  y  =/=  ( |_ `  y ) ) ) )
2013, 17, 19mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  < 
y )
21 flltp1 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2210, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  < 
( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2318rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e. 
RR* )
24 peano2re 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
2518, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e.  RR )
2625rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e. 
RR* )
27 elioo2 11573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  RR*  /\  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_
`  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2823, 26, 27syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( y  e.  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2910, 20, 22, 28mpbir3and 1177 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  x  =  ( |_ `  y ) )
31 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  y )  +  1 ) )
3230, 31oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )
3332eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
y  e.  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  <->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
3433rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
3511, 29, 34syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
369, 35impbii 188 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
371, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
3837eqriv 2450 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( RR  \  ZZ )
39 zcld.1 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
40 retop 21434 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
4139, 40eqeltri 2538 . . . 4  |-  J  e. 
Top
42 iooretop 21439 . . . . . 6  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4342, 39eleqtrri 2541 . . . . 5  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  J
4443rgenw 2815 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
45 iunopn 19574 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ZZ  (
x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J )  ->  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) (
x  +  1 ) )  e.  J )
4641, 44, 45mp2an 670 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
4738, 46eqeltrri 2539 . 2  |-  ( RR 
\  ZZ )  e.  J
48 zssre 10867 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
49 uniretop 21435 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5039unieqi 4244 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5149, 50eqtr4i 2486 . . . 4  |-  RR  =  U. J
5251iscld2 19696 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  C_  RR )  -> 
( ZZ  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J ) )
5341, 48, 52mp2an 670 . 2  |-  ( ZZ  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J
)
5447, 53mpbir 209 1  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    C_ wss 3461   U.cuni 4235   U_ciun 4315   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   |_cfl 11908   topGenctg 14927   Topctop 19561   Clsdccld 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-ioo 11536  df-fl 11910  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-cld 19687
This theorem is referenced by:  zcld2  21486
  Copyright terms: Public domain W3C validator