MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Unicode version

Theorem zcld 20234
Description: The integers are a closed set in the topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
zcld  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem zcld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4165 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
2 elioore 11320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
32adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  RR )
4 eliooord 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  (
x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 btwnnz 10708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  <  y  /\  y  <  ( x  +  1 ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
653expb 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
74, 6sylan2 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
83, 7eldifd 3329 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  ( RR 
\  ZZ ) )
98rexlimiva 2828 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  ->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
10 eldifi 3468 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  RR )
1110flcld 11634 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  ZZ )
12 flle 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( |_ `  y )  <_ 
y )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  <_ 
y )
14 eldifn 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  -.  y  e.  ZZ )
15 nelne2 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  -.  y  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  y )  =/=  y
)
1611, 14, 15syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  =/=  y )
1716necomd 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  =/=  ( |_ `  y
) )
1811zred 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  RR )
1918, 10ltlend 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  <  y  <->  ( ( |_ `  y )  <_ 
y  /\  y  =/=  ( |_ `  y ) ) ) )
2013, 17, 19mpbir2and 908 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  < 
y )
21 flltp1 11636 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2210, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  < 
( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2318rexrd 9423 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e. 
RR* )
24 peano2re 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
2518, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e.  RR )
2625rexrd 9423 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e. 
RR* )
27 elioo2 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  RR*  /\  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_
`  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2823, 26, 27syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( y  e.  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2910, 20, 22, 28mpbir3and 1166 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  x  =  ( |_ `  y ) )
31 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  y )  +  1 ) )
3230, 31oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )
3332eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
y  e.  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  <->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
3433rspcev 3064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
3511, 29, 34syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
369, 35impbii 188 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
371, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
3837eqriv 2432 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( RR  \  ZZ )
39 zcld.1 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
40 retop 20184 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
4139, 40eqeltri 2505 . . . 4  |-  J  e. 
Top
42 iooretop 20189 . . . . . 6  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4342, 39eleqtrri 2508 . . . . 5  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  J
4443rgenw 2775 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
45 iunopn 18355 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ZZ  (
x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J )  ->  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) (
x  +  1 ) )  e.  J )
4641, 44, 45mp2an 667 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
4738, 46eqeltrri 2506 . 2  |-  ( RR 
\  ZZ )  e.  J
48 zssre 10643 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
49 uniretop 20185 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5039unieqi 4090 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5149, 50eqtr4i 2458 . . . 4  |-  RR  =  U. J
5251iscld2 18476 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  C_  RR )  -> 
( ZZ  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J ) )
5341, 48, 52mp2an 667 . 2  |-  ( ZZ  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J
)
5447, 53mpbir 209 1  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3315    C_ wss 3318   U.cuni 4081   U_ciun 4161   class class class wbr 4282   ran crn 4830   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   RRcr 9271   1c1 9273    + caddc 9275   RR*cxr 9407    < clt 9408    <_ cle 9409   ZZcz 10636   (,)cioo 11290   |_cfl 11626   topGenctg 14361   Topctop 18342   Clsdccld 18464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-sup 7681  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-q 10944  df-ioo 11294  df-fl 11628  df-topgen 14367  df-top 18347  df-bases 18349  df-cld 18467
This theorem is referenced by:  zcld2  20236
  Copyright terms: Public domain W3C validator