MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Unicode version

Theorem zcld 20412
Description: The integers are a closed set in the topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
zcld  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem zcld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4196 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
2 elioore 11351 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
32adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  RR )
4 eliooord 11376 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) )  ->  (
x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 btwnnz 10739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  <  y  /\  y  <  ( x  +  1 ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
653expb 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  <  y  /\  y  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
74, 6sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  ->  -.  y  e.  ZZ )
83, 7eldifd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )  -> 
y  e.  ( RR 
\  ZZ ) )
98rexlimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  ->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
10 eldifi 3499 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  RR )
1110flcld 11669 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  ZZ )
12 flle 11670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( |_ `  y )  <_ 
y )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  <_ 
y )
14 eldifn 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  -.  y  e.  ZZ )
15 nelne2 2723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  -.  y  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  y )  =/=  y
)
1611, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  =/=  y )
1716necomd 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  =/=  ( |_ `  y
) )
1811zred 10768 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e.  RR )
1918, 10ltlend 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  <  y  <->  ( ( |_ `  y )  <_ 
y  /\  y  =/=  ( |_ `  y ) ) ) )
2013, 17, 19mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  < 
y )
21 flltp1 11671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2210, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  < 
( ( |_ `  y )  +  1 ) )
2318rexrd 9454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( |_
`  y )  e. 
RR* )
24 peano2re 9563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
2518, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e.  RR )
2625rexrd 9454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( ( |_ `  y )  +  1 )  e. 
RR* )
27 elioo2 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  RR*  /\  (
( |_ `  y
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_
`  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  ( y  e.  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( |_
`  y )  < 
y  /\  y  <  ( ( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
2910, 20, 22, 28mpbir3and 1171 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  x  =  ( |_ `  y ) )
31 oveq1 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  y )  +  1 ) )
3230, 31oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )
3332eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  y )  ->  (
y  e.  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  <->  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) (
( |_ `  y
)  +  1 ) ) ) )
3433rspcev 3094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  y
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ( ( |_ `  y ) (,) ( ( |_ `  y )  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
3511, 29, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) ( x  +  1 ) ) )
369, 35impbii 188 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  y  e.  ( x (,) (
x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
371, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  <->  y  e.  ( RR  \  ZZ ) )
3837eqriv 2440 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  =  ( RR  \  ZZ )
39 zcld.1 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
40 retop 20362 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
4139, 40eqeltri 2513 . . . 4  |-  J  e. 
Top
42 iooretop 20367 . . . . . 6  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4342, 39eleqtrri 2516 . . . . 5  |-  ( x (,) ( x  + 
1 ) )  e.  J
4443rgenw 2804 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
45 iunopn 18533 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ZZ  (
x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J )  ->  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) (
x  +  1 ) )  e.  J )
4641, 44, 45mp2an 672 . . 3  |-  U_ x  e.  ZZ  ( x (,) ( x  +  1 ) )  e.  J
4738, 46eqeltrri 2514 . 2  |-  ( RR 
\  ZZ )  e.  J
48 zssre 10674 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
49 uniretop 20363 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5039unieqi 4121 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5149, 50eqtr4i 2466 . . . 4  |-  RR  =  U. J
5251iscld2 18654 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ZZ  C_  RR )  -> 
( ZZ  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J ) )
5341, 48, 52mp2an 672 . 2  |-  ( ZZ  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( RR  \  ZZ )  e.  J
)
5447, 53mpbir 209 1  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    C_ wss 3349   U.cuni 4112   U_ciun 4192   class class class wbr 4313   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   ZZcz 10667   (,)cioo 11321   |_cfl 11661   topGenctg 14397   Topctop 18520   Clsdccld 18642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-ioo 11325  df-fl 11663  df-topgen 14403  df-top 18525  df-bases 18527  df-cld 18645
This theorem is referenced by:  zcld2  20414
  Copyright terms: Public domain W3C validator