Theorem zbtwnre 7434

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem zbtwnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 7432	. 2 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
2		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x - 1) e. RR /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
3		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
4		peano2rem 6605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR -> (x - 1) e. RR)
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. RR)
6	2, 5	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
7	6	3expa 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
8		zre 7348	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
9	7, 8	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
10		zlem1lt 7392	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
11	10	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
12	9, 11	sylibrd 221	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> x <_ y))
13	12	exp4b 410	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (y e. ZZ -> ((x - 1) < A -> (A <_ y -> x <_ y))))
14	13	com23 36	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y))))
15	14	r19.21adv 2181	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
16		ltnr 6700	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x - 1) e. RR -> -. (x - 1) < (x - 1))
17	3, 4, 16	3syl 24	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ZZ -> -. (x - 1) < (x - 1))
18		peano2zm 7378	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. ZZ)
19		zlem1lt 7392	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ (x - 1) e. ZZ) -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
20	18, 19	mpdan 768	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ZZ -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
21	17, 20	mtbird 783	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ZZ -> -. x <_ (x - 1))
22	21	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> -. x <_ (x - 1))
23		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (x - 1) e. RR) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
24	23, 5	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
25	24	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
27		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (A <_ y <-> A <_ (x - 1)))
28		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (x <_ y <-> x <_ (x - 1)))
29	27, 28	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> ((A <_ y -> x <_ y) <-> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
30	29	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x - 1) e. ZZ -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
31	18, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
32	31	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
33	32	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
34	26, 33	sylbird 222	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (-. (x - 1) < A -> x <_ (x - 1)))
35	22, 34	mt3d 129	. . . . . . . 8 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (x - 1) < A)
36	35	ex 402	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x - 1) < A))
37	15, 36	impbid 574	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
38		1re 6598	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
39		ltsubadd 6810	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
40	38, 39	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
41	40, 3	sylan 497	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
42	37, 41	bitr3d 589	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
43	42	ancoms 484	. . . 4 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
44	43	anbi2d 678	. . 3 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> (A <_ x /\ x < (A + 1))))
45	44	reubidva 2259	. 2 |- (A e. RR -> (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1))))
46	1, 45	mpbid 212	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E!wreu 2107   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  rebtwnz 7435  qbtwnre 7459

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

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