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Theorem zbtwnre 11262
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 11260 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
2 zre 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
3 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
4 peano2rem 9941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
6 ltletr 9725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( x  - 
1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
75, 6syl3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( x  - 
1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
873expa 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  (
x  -  1 )  <  y ) )
92, 8sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  (
x  -  1 )  <  y ) )
10 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  -  1 )  <  y ) )
1110adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_ 
y  <->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
129, 11sylibrd 238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  x  <_  y ) )
1312exp4b 612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )
) ) )
1413com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )
) ) )
1514ralrimdv 2804 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
165ltnrd 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -.  ( x  -  1
)  <  ( x  -  1 ) )
17 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  ZZ )
18 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( x  <_ 
( x  -  1 )  <->  ( x  - 
1 )  <  (
x  -  1 ) ) )
1917, 18mpdan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <_  ( x  -  1 )  <->  ( x  -  1 )  < 
( x  -  1 ) ) )
2016, 19mtbird 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -.  x  <_  ( x  - 
1 ) )
2120ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  -.  x  <_  ( x  - 
1 ) )
22 lenlt 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  -  1
)  e.  RR )  ->  ( A  <_ 
( x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  < 
A ) )
235, 22sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  (
x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  <  A ) )
2423ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  (
x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  <  A ) )
2524adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( A  <_  ( x  - 
1 )  <->  -.  (
x  -  1 )  <  A ) )
26 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( A  <_  y  <->  A  <_  ( x  -  1 ) ) )
27 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  ( x  -  1 ) ) )
2826, 27imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( A  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( A  <_  ( x  -  1 )  ->  x  <_  ( x  - 
1 ) ) ) )
2928rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) ) )
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) ) )
3130imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) )
3231adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( A  <_  ( x  - 
1 )  ->  x  <_  ( x  -  1 ) ) )
3325, 32sylbird 239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( -.  ( x  -  1 )  <  A  ->  x  <_  ( x  - 
1 ) ) )
3421, 33mt3d 129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  (
x  -  1 )  <  A )
3534ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  ->  ( x  -  1 )  < 
A ) )
3615, 35impbid 194 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
37 1re 9642 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
38 ltsubadd 10084 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  A  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
3937, 38mp3an2 1352 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  x  <  ( A  + 
1 ) ) )
403, 39sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  x  <  ( A  + 
1 ) ) )
4136, 40bitr3d 259 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
4241ancoms 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
4342anbi2d 710 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A  <_  x  /\  x  < 
( A  +  1 ) ) ) )
4443reubidva 2974 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) ) )
451, 44mpbid 214 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  rebtwnz  11263  qbtwnre  11492  dfceil2  12068
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