MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddsubgo Structured version   Unicode version

Theorem zaddsubgo 25018
Description: The integers under addition comprise a subgroup of the complex numbers under addition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zaddsubgo  |-  (  +  |`  ( ZZ  X.  ZZ ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )

Proof of Theorem zaddsubgo
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 25014 . . 3  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 24948 . . 3  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 9560 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5727 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 24876 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 25015 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 eqid 2460 . 2  |-  ( inv `  +  )  =  ( inv `  +  )
9 zsscn 10861 . 2  |-  ZZ  C_  CC
10 eqid 2460 . 2  |-  (  +  |`  ( ZZ  X.  ZZ ) )  =  (  +  |`  ( ZZ  X.  ZZ ) )
11 zaddcl 10892 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
12 0z 10864 . 2  |-  0  e.  ZZ
13 zcn 10858 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
14 addinv 25016 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
16 znegcl 10887 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
1715, 16eqeltrd 2548 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  e.  ZZ )
183, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17issubgoi 24974 1  |-  (  +  |`  ( ZZ  X.  ZZ ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762    X. cxp 4990    |` cres 4994   ` cfv 5579   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484   -ucneg 9795   ZZcz 10853   GrpOpcgr 24850   invcgn 24852   AbelOpcablo 24945   SubGrpOpcsubgo 24965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-ablo 24946  df-subgo 24966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator