MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcld Structured version   Unicode version

Theorem zaddcld 10961
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zaddcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zaddcl 10894 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762  (class class class)co 6277    + caddc 9486   ZZcz 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856
This theorem is referenced by:  zadd2cl  10964  qaddcl  11189  eluzgtdifelfzo  11837  fladdz  11916  seqshft2  12091  expaddzlem  12166  ccatval1  12549  ccatval3  12551  ccatass  12559  lswccat0lsw  12561  ccatw2s1p1  12592  2cshw  12733  2cshwcshw  12745  fsumrev2  13548  isumshft  13605  dvds2ln  13866  sadadd3  13961  sadaddlem  13966  sadadd  13967  bezoutlem4  14029  hashdvds  14155  pythagtriplem4  14193  pythagtriplem11  14199  pcaddlem  14257  gzmulcl  14306  4sqlem8  14313  4sqlem10  14315  4sqlem11  14323  4sqlem14  14326  4sqlem16  14328  gsumccat  15827  mulgdir  15962  mndodconglem  16356  chfacfscmulfsupp  19122  chfacfpmmulfsupp  19126  ulmshftlem  22513  ulmshft  22514  dchrptlem2  23263  lgsqrlem2  23340  lgsquad2lem1  23356  2sqlem4  23365  2sqlem8  23370  numclwlk2lem2f  24768  archirngz  27383  archiabllem2c  27389  qqhghm  27593  qqhrhm  27594  divcnvshft  28582  divcnvlin  28583  caushft  29846  pell1234qrmulcl  30384  jm2.18  30525  jm2.19lem3  30528  jm2.19lem4  30529  jm2.25  30536  fzisoeu  31034  wallispilem4  31325  dirkertrigeqlem1  31355
  Copyright terms: Public domain W3C validator