MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Unicode version

Theorem zaddcl 10690
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 10668 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y ) )
2 elz2 10668 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )
3 reeanv 2893 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
4 reeanv 2893 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
5 nnaddcl 10349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  +  z )  e.  NN )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
7 nnaddcl 10349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  +  w
)  e.  NN )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  +  w
)  e.  NN )
9 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
10 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
12 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
13 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
1412, 13anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )
15 addsub4 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1716eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )
18 rspceov 6133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  z )  e.  NN  /\  ( y  +  w
)  e.  NN  /\  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
196, 8, 17, 18syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
20 elz2 10668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ  <->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w
) )  =  ( u  -  v ) )
2119, 20sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ )
22 oveq12 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
2322eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ ) )
2421, 23syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2524rexlimdvva 2853 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
264, 25syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2726rexlimivv 2851 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
283, 27sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
291, 2, 28syl2anb 479 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721  (class class class)co 6096   CCcc 9285    + caddc 9290    - cmin 9600   NNcn 10327   ZZcz 10651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652
This theorem is referenced by:  peano2z  10691  zsubcl  10692  zrevaddcl  10695  zdivadd  10718  uzindOLD  10741  zaddcld  10756  eluzaddi  10892  eluzsubi  10893  fzen  11472  elfzmlbp  11496  fzaddel  11498  fzrev3  11527  fzrevral3  11551  fzoaddel  11602  elfzomelpfzo  11634  fzoshftral  11641  ccatsymb  12286  swrdccatin2  12383  revccat  12411  2cshw  12452  cshweqrep  12460  cshco  12469  climshftlem  13057  isershft  13146  iseraltlem2  13165  fsumzcl  13217  dvds2ln  13568  dvds2add  13569  dvdsadd  13576  dvdsadd2b  13580  divalglem2  13604  ndvdsadd  13617  gcdaddmlem  13717  opoe  13883  opeo  13885  pythagtriplem9  13896  gzaddcl  14003  mod2xnegi  14105  cshwshashlem2  14128  cycsubgcl  15712  efgredleme  16245  zaddablx  16355  pgpfac1lem2  16581  zsubrg  17871  zringmulg  17896  zrngmulg  17902  expghm  17928  expghmOLD  17929  mulgghm2  17930  mulgghm2OLD  17933  cygznlem3  18007  iaa  21796  dchrisumlem1  22743  axlowdimlem16  23208  gxnn0add  23766  gxadd  23767  zaddsubgo  23846  ballotlemsima  26903  zrisefaccl  27528  fzadd2  28642  mzpclall  29068  mzpindd  29087  rmxyadd  29267  jm2.18  29342  stoweidlem34  29834  nn0pzuz  30201  2elfz2melfz  30207  zpnn0elfzo  30226  clwwisshclwwlem1  30474  erclwwlktr0  30484  cshwlemma1  30494
  Copyright terms: Public domain W3C validator