MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Unicode version

Theorem zaddcl 10945
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 10922 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y ) )
2 elz2 10922 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )
3 reeanv 2975 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
4 reeanv 2975 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
5 nnaddcl 10598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  +  z )  e.  NN )
65adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
7 nnaddcl 10598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  +  w
)  e.  NN )
87adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  +  w
)  e.  NN )
9 nncn 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
10 nncn 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
12 nncn 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
13 nncn 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
1412, 13anim12i 564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )
15 addsub4 9898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1611, 14, 15syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1716eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )
18 rspceov 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  z )  e.  NN  /\  ( y  +  w
)  e.  NN  /\  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
196, 8, 17, 18syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
20 elz2 10922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ  <->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w
) )  =  ( u  -  v ) )
2119, 20sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ )
22 oveq12 6287 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
2322eleq1d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ ) )
2421, 23syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2524rexlimdvva 2903 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
264, 25syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2726rexlimivv 2901 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
283, 27sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
291, 2, 28syl2anb 477 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    - cmin 9841   NNcn 10576   ZZcz 10905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906
This theorem is referenced by:  peano2z  10946  zsubcl  10947  zrevaddcl  10950  zdivadd  10975  zaddcld  11012  eluzaddi  11153  eluzsubi  11154  nn0pzuz  11184  fzen  11757  fzaddel  11773  fzrev3  11800  fzrevral3  11820  elfzmlbp  11841  fzoaddel  11905  zpnn0elfzo  11924  elfzomelpfzo  11951  fzoshftral  11960  ccatsymb  12654  swrdccatin2  12768  revccat  12796  2cshw  12837  cshweqrep  12845  2cshwcshw  12849  cshwcsh2id  12852  cshco  12858  climshftlem  13546  isershft  13635  iseraltlem2  13654  fsumzcl  13706  zrisefaccl  13965  dvds2ln  14223  dvds2add  14224  dvdsadd  14233  dvdsadd2b  14237  divalglem2  14262  ndvdsadd  14275  gcdaddmlem  14375  opoe  14544  opeo  14546  pythagtriplem9  14557  gzaddcl  14664  mod2xnegi  14766  cshwshashlem2  14790  cycsubgcl  16551  efgredleme  17085  zaddablx  17200  pgpfac1lem2  17446  zsubrg  18791  zringmulg  18816  expghm  18833  mulgghm2  18834  cygznlem3  18906  iaa  23013  dchrisumlem1  24055  axlowdimlem16  24677  clwwisshclwwlem1  25222  gxnn0add  25690  gxadd  25691  zaddsubgo  25770  ballotlemsima  28960  fzadd2  31516  mzpclall  35021  mzpindd  35040  rmxyadd  35218  jm2.18  35292  inductionexd  35978  dvdsn1add  37104  stoweidlem34  37184  fourierswlem  37381  opoeALTV  37765  opeoALTV  37766  gbogt5  37816  gboage9  37818  bgoldbst  37832  2elfz2melfz  37966  2zrngamgm  38256
  Copyright terms: Public domain W3C validator