HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem zaddcl 7374
Description: Closure of addition of integers.
Assertion
Ref Expression
zaddcl |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M + N) e. ZZ)
Proof of Theorem zaddcl
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 7329 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)
21orcd 294 . . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))
32a1i 8 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
4 readdcl 6455 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M + N) e. RR)
53, 4jctild 662 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))))
6 letric 6802 . . . . . . . . . . 11 |- ((-uM e. RR /\ N e. RR) -> (-uM <_ N \/ N <_ -uM))
7 renegcl 6600 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> -uM e. RR)
86, 7sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM <_ N \/ N <_ -uM))
98adantr 425 . . . . . . . . 9 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (-uM e. NN0 /\ N e. NN0)) -> (-uM <_ N \/ N <_ -uM))
10 nn0sub 7370 . . . . . . . . . . 11 |- ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> (-uM <_ N <-> (N - -uM) e. NN0))
11 subneg 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (N - -uM) = (N + M))
1211ancoms 484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (N - -uM) = (N + M))
13 addcom 6458 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M + N) = (N + M))
1412, 13eqtr4d 1928 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (N - -uM) = (M + N))
15 recn 6466 . . . . . . . . . . . . 13 |- (M e. RR -> M e. CC)
16 recn 6466 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> N e. CC)
1714, 15, 16syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (N - -uM) = (M + N))
1817eleq1d 1963 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((N - -uM) e. NN0 <-> (M + N) e. NN0))
1910, 18sylan9bbr 600 . . . . . . . . . 10 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (-uM e. NN0 /\ N e. NN0)) -> (-uM <_ N <-> (M + N) e. NN0))
20 nn0sub 7370 . . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. NN0 /\ -uM e. NN0) -> (N <_ -uM <-> (-uM - N) e. NN0))
2120ancoms 484 . . . . . . . . . . 11 |- ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> (N <_ -uM <-> (-uM - N) e. NN0))
22 negdi 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> -u(M + N) = (-uM + -uN))
23 negsub 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uM e. CC /\ N e. CC) -> (-uM + -uN) = (-uM - N))
24 negcl 6525 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (M e. CC -> -uM e. CC)
2523, 24sylan 497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM + -uN) = (-uM - N))
2622, 25eqtr2d 1926 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM - N) = -u(M + N))
2726, 15, 16syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM - N) = -u(M + N))
2827eleq1d 1963 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM - N) e. NN0 <-> -u(M + N) e. NN0))
2921, 28sylan9bbr 600 . . . . . . . . . 10 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (-uM e. NN0 /\ N e. NN0)) -> (N <_ -uM <-> -u(M + N) e. NN0))
3019, 29orbi12d 689 . . . . . . . . 9 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (-uM e. NN0 /\ N e. NN0)) -> ((-uM <_ N \/ N <_ -uM) <-> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
319, 30mpbid 212 . . . . . . . 8 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (-uM e. NN0 /\ N e. NN0)) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))
3231ex 402 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
3332, 4jctild 662 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))))
34 letric 6802 . . . . . . . . . . . 12 |- ((-uN e. RR /\ M e. RR) -> (-uN <_ M \/ M <_ -uN))
35 renegcl 6600 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
3634, 35sylan 497 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ M e. RR) -> (-uN <_ M \/ M <_ -uN))
3736ancoms 484 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uN <_ M \/ M <_ -uN))
3837adantr 425 . . . . . . . . 9 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (M e. NN0 /\ -uN e. NN0)) -> (-uN <_ M \/ M <_ -uN))
39 nn0sub 7370 . . . . . . . . . . . 12 |- ((-uN e. NN0 /\ M e. NN0) -> (-uN <_ M <-> (M - -uN) e. NN0))
4039ancoms 484 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (-uN <_ M <-> (M - -uN) e. NN0))
41 subneg 6554 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M - -uN) = (M + N))
4241, 15, 16syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M - -uN) = (M + N))
4342eleq1d 1963 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M - -uN) e. NN0 <-> (M + N) e. NN0))
4440, 43sylan9bbr 600 . . . . . . . . . 10 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (M e. NN0 /\ -uN e. NN0)) -> (-uN <_ M <-> (M + N) e. NN0))
45 nn0sub 7370 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M <_ -uN <-> (-uN - M) e. NN0))
46 addcom 6458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-uM e. CC /\ -uN e. CC) -> (-uM + -uN) = (-uN + -uM))
4746, 24sylan 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. CC /\ -uN e. CC) -> (-uM + -uN) = (-uN + -uM))
48 negsub 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-uN e. CC /\ M e. CC) -> (-uN + -uM) = (-uN - M))
4948ancoms 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. CC /\ -uN e. CC) -> (-uN + -uM) = (-uN - M))
5047, 49eqtr2d 1926 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. CC /\ -uN e. CC) -> (-uN - M) = (-uM + -uN))
51 negcl 6525 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N e. CC -> -uN e. CC)
5250, 51sylan2 500 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uN - M) = (-uM + -uN))
5352, 22eqtr4d 1928 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uN - M) = -u(M + N))
5453, 15, 16syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uN - M) = -u(M + N))
5554eleq1d 1963 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uN - M) e. NN0 <-> -u(M + N) e. NN0))
5645, 55sylan9bbr 600 . . . . . . . . . 10 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (M e. NN0 /\ -uN e. NN0)) -> (M <_ -uN <-> -u(M + N) e. NN0))
5744, 56orbi12d 689 . . . . . . . . 9 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (M e. NN0 /\ -uN e. NN0)) -> ((-uN <_ M \/ M <_ -uN) <-> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
5838, 57mpbid 212 . . . . . . . 8 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ (M e. NN0 /\ -uN e. NN0)) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))
5958ex 402 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
6059, 4jctild 662 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))))
6122, 15, 16syl2an 503 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> -u(M + N) = (-uM + -uN))
6261eleq1d 1963 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-u(M + N) e. NN0 <-> (-uM + -uN) e. NN0))
63 nn0addcl 7329 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (-uM + -uN) e. NN0)
6462, 63syl5bir 227 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> -u(M + N) e. NN0))
65 olc 290 . . . . . . . 8 |- (-u(M + N) e. NN0 -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))
6664, 65syl6 25 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
6766, 4jctild 662 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))))
685, 33, 60, 67ccased 830 . . . . 5 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0))))
69 elznn0 7358 . . . . 5 |- ((M + N) e. ZZ <-> ((M + N) e. RR /\ ((M + N) e. NN0 \/ -u(M + N) e. NN0)))
7068, 69syl6ibr 230 . . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> (M + N) e. ZZ))
7170imp 377 . . 3 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ ((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M + N) e. ZZ)
7271an4s 566 . 2 |- (((M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)) /\ (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M + N) e. ZZ)
73 elznn0 7358 . 2 |- (M e. ZZ <-> (M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)))
74 elznn0 7358 . 2 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)))
7572, 73, 74syl2anb 504 1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M + N) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ZZcz 6451
This theorem is referenced by:  peano2z 7375  zsubcl 7377  zrevaddcl 7379  zdivadd 7398  dfuzi 7414  uzindOLD 7420  qaddcl 7449  fladdz 7484  eluzaddi 7605  eluzsubi 7606  fzen 7664  fzaddel 7672  fzrev3 7692  fzrevral3 7700  fsumrev2 8290  climshfti 8364  iserzshfti 8404  isumshfti 8465  isumshft2i 8466  arisumi 8487  eirrlem2 8652  gxnn0add 9397  gxadd 9398  zaddsubg 9438  dvds2ln 13684  dvds2add 13685  dvdsadd 13688  divalglem2 13698  ndvdsadd 13711  gcdaddmlem 13734  fzadd2 15791  rddif 15798  caushft 15851  zaddablxNEW 17141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345
Copyright terms: Public domain