MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Unicode version

Theorem zaddcl 10899
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 10877 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y ) )
2 elz2 10877 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )
3 reeanv 3029 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
4 reeanv 3029 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
5 nnaddcl 10554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  +  z )  e.  NN )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
7 nnaddcl 10554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  +  w
)  e.  NN )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  +  w
)  e.  NN )
9 nncn 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
10 nncn 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
12 nncn 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
13 nncn 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
1412, 13anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )
15 addsub4 9858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1716eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )
18 rspceov 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  z )  e.  NN  /\  ( y  +  w
)  e.  NN  /\  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
196, 8, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
20 elz2 10877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ  <->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w
) )  =  ( u  -  v ) )
2119, 20sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ )
22 oveq12 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
2322eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ ) )
2421, 23syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2524rexlimdvva 2962 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
264, 25syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2726rexlimivv 2960 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
283, 27sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
291, 2, 28syl2anb 479 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815  (class class class)co 6282   CCcc 9486    + caddc 9491    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  peano2z  10900  zsubcl  10901  zrevaddcl  10904  zdivadd  10928  uzindOLD  10951  zaddcld  10966  eluzaddi  11104  eluzsubi  11105  nn0pzuz  11134  fzen  11699  fzaddel  11714  fzrev3  11741  fzrevral3  11760  elfzmlbp  11779  fzoaddel  11837  zpnn0elfzo  11852  elfzomelpfzo  11878  fzoshftral  11887  ccatsymb  12561  swrdccatin2  12671  revccat  12699  2cshw  12740  cshweqrep  12748  2cshwcshw  12752  cshwcsh2id  12755  cshco  12761  climshftlem  13356  isershft  13445  iseraltlem2  13464  fsumzcl  13516  dvds2ln  13871  dvds2add  13872  dvdsadd  13879  dvdsadd2b  13883  divalglem2  13908  ndvdsadd  13921  gcdaddmlem  14021  opoe  14190  opeo  14192  pythagtriplem9  14203  gzaddcl  14310  mod2xnegi  14412  cshwshashlem2  14435  cycsubgcl  16022  efgredleme  16557  zaddablx  16667  pgpfac1lem2  16916  zsubrg  18239  zringmulg  18264  zrngmulg  18270  expghm  18296  expghmOLD  18297  mulgghm2  18298  mulgghm2OLD  18301  cygznlem3  18375  iaa  22455  dchrisumlem1  23402  axlowdimlem16  23936  clwwisshclwwlem1  24481  gxnn0add  24952  gxadd  24953  zaddsubgo  25032  ballotlemsima  28094  zrisefaccl  28719  fzadd2  29837  mzpclall  30263  mzpindd  30282  rmxyadd  30461  jm2.18  30534  stoweidlem34  31334  fourierswlem  31531  2elfz2melfz  31803
  Copyright terms: Public domain W3C validator