Theorem zaddablxNEW 17141

Description: The integers are an Abelian group under addition.

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.1NEW	|- G = {<.1, ZZ>., <.2, + >.}

Assertion

Ref	Expression
zaddablxNEW	|- G e. AbelNEW

Proof of Theorem zaddablxNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 7353	. . 3 |- ZZ e. _V
2		addex 6470	. . 3 |- + e. _V
3		zaddablx.1NEW	. . 3 |- G = {<.1, ZZ>., <.2, + >.}
4		zaddcl 7374	. . 3 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x + y) e. ZZ)
5		addass 6460	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> ((x + y) + z) = (x + (y + z)))
6		zcn 7349	. . . 4 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
7		zcn 7349	. . . 4 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
8		zcn 7349	. . . 4 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1139	. . 3 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ) -> ((x + y) + z) = (x + (y + z)))
10		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		addid2 6482	. . . 4 |- (x e. CC -> (0 + x) = x)
12	6, 11	syl 12	. . 3 |- (x e. ZZ -> (0 + x) = x)
13		znegcl 7372	. . 3 |- (x e. ZZ -> -ux e. ZZ)
14		addcom 6458	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ -ux e. CC) -> (x + -ux) = (-ux + x))
15		zcn 7349	. . . . . 6 |- (-ux e. ZZ -> -ux e. CC)
16	14, 6, 15	syl2an 503	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ -ux e. ZZ) -> (x + -ux) = (-ux + x))
17	13, 16	mpdan 768	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (x + -ux) = (-ux + x))
18		negid 6536	. . . . 5 |- (x e. CC -> (x + -ux) = 0)
19	6, 18	syl 12	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (x + -ux) = 0)
20	17, 19	eqtr3d 1927	. . 3 |- (x e. ZZ -> (-ux + x) = 0)
21	1, 2, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 20	isgrpixNEW 17116	. 2 |- G e. GrpNEW
22	1, 2, 3	grpbasex 17101	. 2 |- ZZ = (base` G)
23	1, 2, 3	grpplusgx 17102	. 2 |- + = (+g` G)
24		addcom 6458	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) = (y + x))
25	24, 6, 7	syl2an 503	. 2 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x + y) = (y + x))
26	21, 22, 23, 25	isabliNEW 17136	1 |- G e. AbelNEW

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cpr 3045  <.cop 3046  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  -ucneg 6446  ZZcz 6451  2c2 7145  AbelNEWcabel 17084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708  df-strbldr 16725  df-base 16768  df-plusg 17088  df-grpNEW 17089  df-ablNEW 17092

Copyright terms: Public domain