MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddablx Structured version   Unicode version

Theorem zaddablx 17443
Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 18956 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
zaddablx.g  |-  G  =  { <. 1 ,  ZZ >. ,  <. 2 ,  +  >. }
Assertion
Ref Expression
zaddablx  |-  G  e. 
Abel

Proof of Theorem zaddablx
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10946 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
2 addex 11300 . . 3  |-  +  e.  _V
3 zaddablx.g . . 3  |-  G  =  { <. 1 ,  ZZ >. ,  <. 2 ,  +  >. }
4 zaddcl 10977 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
5 zcn 10942 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
6 zcn 10942 . . . 4  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
7 zcn 10942 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
8 addass 9625 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
95, 6, 7, 8syl3an 1306 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
10 0z 10948 . . 3  |-  0  e.  ZZ
115addid2d 9833 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
0  +  x )  =  x )
12 znegcl 10972 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
13 zcn 10942 . . . . . 6  |-  ( -u x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  CC )
14 addcom 9818 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
155, 13, 14syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  -u x  e.  ZZ )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
1612, 15mpdan 672 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
175negidd 9975 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
1816, 17eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
191, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18isgrpix 16644 . 2  |-  G  e. 
Grp
201, 2, 3grpbasex 15199 . 2  |-  ZZ  =  ( Base `  G )
211, 2, 3grpplusgx 15200 . 2  |-  +  =  ( +g  `  G )
22 addcom 9818 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
235, 6, 22syl2an 479 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
2419, 20, 21, 23isabli 17379 1  |-  G  e. 
Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cpr 4004   <.cop 4008  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   -ucneg 9860   2c2 10659   ZZcz 10937   Abelcabl 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-cmn 17367  df-abl 17368
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator