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Theorem z2ge 11400
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Distinct variable groups:    k, M    k, N

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 ifcl 3971 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
21ancoms 451 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
3 zre 10864 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10864 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 max1 11389 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
6 max2 11391 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
75, 6jca 530 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
83, 4, 7syl2an 475 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
9 breq2 4443 . . . 4  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 breq2 4443 . . . 4  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
119, 10anbi12d 708 . . 3  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  (
( M  <_  k  /\  N  <_  k )  <-> 
( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ) )
1211rspcev 3207 . 2  |-  ( ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_ 
k  /\  N  <_  k ) )
132, 8, 12syl2anc 659 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   ifcif 3929   class class class wbr 4439   RRcr 9480    <_ cle 9618   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9799  df-z 10861
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