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Theorem z2ge 11280
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Distinct variable groups:    k, M    k, N

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 ifcl 3940 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
21ancoms 453 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
3 zre 10762 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10762 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 max1 11269 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
6 max2 11271 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
75, 6jca 532 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
83, 4, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
9 breq2 4405 . . . 4  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 breq2 4405 . . . 4  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
119, 10anbi12d 710 . . 3  |-  ( k  =  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  ->  (
( M  <_  k  /\  N  <_  k )  <-> 
( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ) )
1211rspcev 3179 . 2  |-  ( ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_ 
k  /\  N  <_  k ) )
132, 8, 12syl2anc 661 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   ifcif 3900   class class class wbr 4401   RRcr 9393    <_ cle 9531   ZZcz 10758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-neg 9710  df-z 10759
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