Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yonffth Structured version   Unicode version

Theorem yonffth 16120
 Description: The Yoneda Lemma. The Yoneda embedding, the curried Hom functor, is full and faithful, and hence is a representation of the category as a full subcategory of the category of presheaves on . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yonffth.y Yon
yonffth.o oppCat
yonffth.s
yonffth.q FuncCat
yonffth.c
yonffth.u
yonffth.h f
Assertion
Ref Expression
yonffth Full Faith

Proof of Theorem yonffth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 yonffth.y . 2 Yon
2 eqid 2429 . 2
3 eqid 2429 . 2
4 yonffth.o . 2 oppCat
5 yonffth.s . 2
6 eqid 2429 . 2 f f
7 yonffth.q . 2 FuncCat
8 eqid 2429 . 2 HomF HomF
9 eqid 2429 . 2 c FuncCat f c FuncCat f
10 eqid 2429 . 2 evalF evalF
11 eqid 2429 . 2 HomF func tpos func F ⟨,⟩F F HomF func tpos func F ⟨,⟩F F
12 yonffth.c . 2
13 fvex 5891 . . . 4 f
1413rnex 6741 . . 3 f
15 yonffth.u . . 3
16 unexg 6606 . . 3 f f
1714, 15, 16sylancr 667 . 2 f
18 yonffth.h . 2 f
19 ssid 3489 . . 3 f f
2019a1i 11 . 2 f f
21 eqid 2429 . 2 Nat Nat
22 eqid 2429 . 2 Inv c FuncCat f Inv c FuncCat f
23 eqid 2429 . 2
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 20, 21, 22, 23yonffthlem 16118 1 Full Faith
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   cun 3440   cin 3441   wss 3442  cop 4008   cmpt 4484   crn 4855  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1st 6805  c2nd 6806  tpos ctpos 6980  cbs 15084   chom 15163  ccat 15521  ccid 15522   f chomf 15523  oppCatcoppc 15567  Invcinv 15601   cfunc 15710   func ccofu 15712   Full cful 15758   Faith cfth 15759   Nat cnat 15797   FuncCat cfuc 15798  csetc 15921   c cxpc 16004   F c1stf 16005   F c2ndf 16006   ⟨,⟩F cprf 16007   evalF cevlf 16045  HomFchof 16084  Yoncyon 16085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-hom 15176  df-cco 15177  df-cat 15525  df-cid 15526  df-homf 15527  df-comf 15528  df-oppc 15568  df-sect 15603  df-inv 15604  df-iso 15605  df-ssc 15666  df-resc 15667  df-subc 15668  df-func 15714  df-cofu 15716  df-full 15760  df-fth 15761  df-nat 15799  df-fuc 15800  df-setc 15922  df-xpc 16008  df-1stf 16009  df-2ndf 16010  df-prf 16011  df-evlf 16049  df-curf 16050  df-hof 16086  df-yon 16087 This theorem is referenced by:  yoniso  16121
 Copyright terms: Public domain W3C validator