Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yon2 Structured version   Unicode version

Theorem yon2 15396
 Description: Value of the Yoneda embedding at a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yon11.y Yon
yon11.b
yon11.c
yon11.p
yon11.h
yon11.z
yon12.x comp
yon12.w
yon2.f
yon2.g
Assertion
Ref Expression
yon2

Proof of Theorem yon2
StepHypRef Expression
1 yon11.y . . . . . . . . 9 Yon
2 yon11.c . . . . . . . . 9
3 eqid 2467 . . . . . . . . 9 oppCat oppCat
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9 HomFoppCat HomFoppCat
51, 2, 3, 4yonval 15391 . . . . . . . 8 oppCat curryF HomFoppCat
65fveq2d 5870 . . . . . . 7 oppCat curryF HomFoppCat
76oveqd 6302 . . . . . 6 oppCat curryF HomFoppCat
87fveq1d 5868 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat
98fveq1d 5868 . . . 4 oppCat curryF HomFoppCat
10 eqid 2467 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat oppCat curryF HomFoppCat
11 yon11.b . . . . 5
123oppccat 14981 . . . . . 6 oppCat
132, 12syl 16 . . . . 5 oppCat
14 eqid 2467 . . . . . 6 f f
15 fvex 5876 . . . . . . . 8 f
1615rnex 6719 . . . . . . 7 f
1716a1i 11 . . . . . 6 f
18 ssid 3523 . . . . . . 7 f f
1918a1i 11 . . . . . 6 f f
203, 4, 14, 2, 17, 19oppchofcl 15390 . . . . 5 HomFoppCat c oppCat f
213, 11oppcbas 14977 . . . . 5 oppCat
22 yon11.h . . . . 5
23 eqid 2467 . . . . 5 oppCat oppCat
24 yon11.p . . . . 5
25 yon11.z . . . . 5
26 yon2.f . . . . 5
27 eqid 2467 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat oppCat curryF HomFoppCat
28 yon12.w . . . . 5
2910, 11, 2, 13, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28curf2val 15360 . . . 4 oppCat curryF HomFoppCat HomFoppCat oppCat
309, 29eqtrd 2508 . . 3 HomFoppCat oppCat
3130fveq1d 5868 . 2 HomFoppCat oppCat
32 eqid 2467 . . 3 oppCat oppCat
33 eqid 2467 . . 3 compoppCat compoppCat
3422, 3oppchom 14974 . . . 4 oppCat
3526, 34syl6eleqr 2566 . . 3 oppCat
3621, 32, 23, 13, 28catidcl 14940 . . 3 oppCat oppCat
37 yon2.g . . . 4
3822, 3oppchom 14974 . . . 4 oppCat
3937, 38syl6eleqr 2566 . . 3 oppCat
404, 13, 21, 32, 24, 28, 25, 28, 33, 35, 36, 39hof2 15387 . 2 HomFoppCat oppCat oppCat compoppCat compoppCat
4121, 32, 23, 13, 24, 33, 28, 39catlid 14941 . . . 4 oppCat compoppCat
4241oveq1d 6300 . . 3 oppCat compoppCat compoppCat compoppCat
43 yon12.x . . . 4 comp
4411, 43, 3, 25, 24, 28oppcco 14976 . . 3 compoppCat
4542, 44eqtrd 2508 . 2 oppCat compoppCat compoppCat
4631, 40, 453eqtrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wss 3476  cop 4033   crn 5000  cfv 5588  (class class class)co 6285  c2nd 6784  cbs 14493   chom 14569  compcco 14570  ccat 14922  ccid 14923   f chomf 14924  oppCatcoppc 14970  csetc 15263   curryF ccurf 15340  HomFchof 15378  Yoncyon 15379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-hom 14582  df-cco 14583  df-cat 14926  df-cid 14927  df-homf 14928  df-comf 14929  df-oppc 14971  df-func 15088  df-setc 15264  df-xpc 15302  df-curf 15344  df-hof 15380  df-yon 15381 This theorem is referenced by:  yonedalem3b  15409  yonffthlem  15412
 Copyright terms: Public domain W3C validator