MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yon1cl Structured version   Unicode version

Theorem yon1cl 15856
Description: The Yoneda embedding at an object of  C is a presheaf on  C, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yon11.y  |-  Y  =  (Yon `  C )
yon11.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
yon11.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
yon11.p  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
yon1cl.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
yon1cl.s  |-  S  =  ( SetCat `  U )
yon1cl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
yon1cl.h  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
Assertion
Ref Expression
yon1cl  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( O  Func  S
) )

Proof of Theorem yon1cl
StepHypRef Expression
1 yon11.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( O FuncCat  S )  =  ( O FuncCat  S )
32fucbas 15573 . . 3  |-  ( O 
Func  S )  =  (
Base `  ( O FuncCat  S ) )
4 relfunc 15475 . . . 4  |-  Rel  ( C  Func  ( O FuncCat  S
) )
5 yon11.y . . . . 5  |-  Y  =  (Yon `  C )
6 yon11.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 yon1cl.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
8 yon1cl.s . . . . 5  |-  S  =  ( SetCat `  U )
9 yon1cl.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
10 yon1cl.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
115, 6, 7, 8, 2, 9, 10yoncl 15855 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C 
Func  ( O FuncCat  S
) ) )
12 1st2ndbr 6833 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( C  Func  ( O FuncCat  S ) )  /\  Y  e.  ( C  Func  ( O FuncCat  S )
) )  ->  ( 1st `  Y ) ( C  Func  ( O FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
134, 11, 12sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) ( C  Func  ( O FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
141, 3, 13funcf1 15479 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) : B --> ( O 
Func  S ) )
15 yon11.p . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1614, 15ffvelrnd 6010 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( O  Func  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ran crn 4824   Rel wrel 4828   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   Basecbs 14841   Catccat 15278   Hom f chomf 15280  oppCatcoppc 15324    Func cfunc 15467   FuncCat cfuc 15555   SetCatcsetc 15678  Yoncyon 15842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-hom 14933  df-cco 14934  df-cat 15282  df-cid 15283  df-homf 15284  df-comf 15285  df-oppc 15325  df-func 15471  df-nat 15556  df-fuc 15557  df-setc 15679  df-xpc 15765  df-curf 15807  df-hof 15843  df-yon 15844
This theorem is referenced by:  yonedalem21  15866  yonedalem3a  15867  yonedalem4c  15870
  Copyright terms: Public domain W3C validator