MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yon1cl Structured version   Unicode version

Theorem yon1cl 15381
Description: The Yoneda embedding at an object of  C is a presheaf on  C, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yon11.y  |-  Y  =  (Yon `  C )
yon11.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
yon11.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
yon11.p  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
yon1cl.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
yon1cl.s  |-  S  =  ( SetCat `  U )
yon1cl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
yon1cl.h  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
Assertion
Ref Expression
yon1cl  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( O  Func  S
) )

Proof of Theorem yon1cl
StepHypRef Expression
1 yon11.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2462 . . . 4  |-  ( O FuncCat  S )  =  ( O FuncCat  S )
32fucbas 15178 . . 3  |-  ( O 
Func  S )  =  (
Base `  ( O FuncCat  S ) )
4 relfunc 15080 . . . 4  |-  Rel  ( C  Func  ( O FuncCat  S
) )
5 yon11.y . . . . 5  |-  Y  =  (Yon `  C )
6 yon11.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 yon1cl.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
8 yon1cl.s . . . . 5  |-  S  =  ( SetCat `  U )
9 yon1cl.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
10 yon1cl.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
115, 6, 7, 8, 2, 9, 10yoncl 15380 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C 
Func  ( O FuncCat  S
) ) )
12 1st2ndbr 6825 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( C  Func  ( O FuncCat  S ) )  /\  Y  e.  ( C  Func  ( O FuncCat  S )
) )  ->  ( 1st `  Y ) ( C  Func  ( O FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
134, 11, 12sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) ( C  Func  ( O FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
141, 3, 13funcf1 15084 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) : B --> ( O 
Func  S ) )
15 yon11.p . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1614, 15ffvelrnd 6015 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( O  Func  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   ran crn 4995   Rel wrel 4999   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   1stc1st 6774   2ndc2nd 6775   Basecbs 14481   Catccat 14910   Hom f chomf 14912  oppCatcoppc 14958    Func cfunc 15072   FuncCat cfuc 15160   SetCatcsetc 15251  Yoncyon 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-homf 14916  df-comf 14917  df-oppc 14959  df-func 15076  df-nat 15161  df-fuc 15162  df-setc 15252  df-xpc 15290  df-curf 15332  df-hof 15368  df-yon 15369
This theorem is referenced by:  yonedalem21  15391  yonedalem3a  15392  yonedalem4c  15395
  Copyright terms: Public domain W3C validator