Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yon12 Structured version   Unicode version

Theorem yon12 15408
 Description: Value of the Yoneda embedding at a morphism. The partially evaluated Yoneda embedding is also the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yon11.y Yon
yon11.b
yon11.c
yon11.p
yon11.h
yon11.z
yon12.x comp
yon12.w
yon12.f
yon12.g
Assertion
Ref Expression
yon12

Proof of Theorem yon12
StepHypRef Expression
1 yon11.y . . . . . . . . . 10 Yon
2 yon11.c . . . . . . . . . 10
3 eqid 2443 . . . . . . . . . 10 oppCat oppCat
4 eqid 2443 . . . . . . . . . 10 HomFoppCat HomFoppCat
51, 2, 3, 4yonval 15404 . . . . . . . . 9 oppCat curryF HomFoppCat
65fveq2d 5860 . . . . . . . 8 oppCat curryF HomFoppCat
76fveq1d 5858 . . . . . . 7 oppCat curryF HomFoppCat
87fveq2d 5860 . . . . . 6 oppCat curryF HomFoppCat
98oveqd 6298 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat
109fveq1d 5858 . . . 4 oppCat curryF HomFoppCat
11 eqid 2443 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat oppCat curryF HomFoppCat
12 yon11.b . . . . 5
133oppccat 14994 . . . . . 6 oppCat
142, 13syl 16 . . . . 5 oppCat
15 eqid 2443 . . . . . 6 f f
16 fvex 5866 . . . . . . . 8 f
1716rnex 6719 . . . . . . 7 f
1817a1i 11 . . . . . 6 f
19 ssid 3508 . . . . . . 7 f f
2019a1i 11 . . . . . 6 f f
213, 4, 15, 2, 18, 20oppchofcl 15403 . . . . 5 HomFoppCat c oppCat f
223, 12oppcbas 14990 . . . . 5 oppCat
23 yon11.p . . . . 5
24 eqid 2443 . . . . 5 oppCat curryF HomFoppCat oppCat curryF HomFoppCat
25 yon11.z . . . . 5
26 eqid 2443 . . . . 5 oppCat oppCat
27 eqid 2443 . . . . 5
28 yon12.w . . . . 5
29 yon12.f . . . . . 6
30 yon11.h . . . . . . 7
3130, 3oppchom 14987 . . . . . 6 oppCat
3229, 31syl6eleqr 2542 . . . . 5 oppCat
3311, 12, 2, 14, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 32curf12 15370 . . . 4 oppCat curryF HomFoppCat HomFoppCat
3410, 33eqtrd 2484 . . 3 HomFoppCat
3534fveq1d 5858 . 2 HomFoppCat
36 eqid 2443 . . 3 compoppCat compoppCat
3712, 30, 27, 2, 23catidcl 14956 . . . 4
3830, 3oppchom 14987 . . . 4 oppCat
3937, 38syl6eleqr 2542 . . 3 oppCat
40 yon12.g . . . 4
4130, 3oppchom 14987 . . . 4 oppCat
4240, 41syl6eleqr 2542 . . 3 oppCat
434, 14, 22, 26, 23, 25, 23, 28, 36, 39, 32, 42hof2 15400 . 2 HomFoppCat compoppCat compoppCat
44 yon12.x . . . . 5 comp
4512, 44, 3, 23, 25, 28oppcco 14989 . . . 4 compoppCat
4645oveq1d 6296 . . 3 compoppCat compoppCat compoppCat
4712, 44, 3, 23, 23, 28oppcco 14989 . . 3 compoppCat
4812, 30, 44, 2, 28, 25, 23, 29, 40catcocl 14959 . . . 4
4912, 30, 27, 2, 28, 44, 23, 48catlid 14957 . . 3
5046, 47, 493eqtrd 2488 . 2 compoppCat compoppCat
5135, 43, 503eqtrd 2488 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461  cop 4020   crn 4990  cfv 5578  (class class class)co 6281  c1st 6783  c2nd 6784  cbs 14509   chom 14585  compcco 14586  ccat 14938  ccid 14939   f chomf 14940  oppCatcoppc 14983  csetc 15276   curryF ccurf 15353  HomFchof 15391  Yoncyon 15392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-hom 14598  df-cco 14599  df-cat 14942  df-cid 14943  df-homf 14944  df-comf 14945  df-oppc 14984  df-func 15101  df-setc 15277  df-xpc 15315  df-curf 15357  df-hof 15393  df-yon 15394 This theorem is referenced by:  yonedalem4c  15420  yonedalem3b  15422  yonedainv  15424  yonffthlem  15425
 Copyright terms: Public domain W3C validator