MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xsubge0 Structured version   Unicode version

Theorem xsubge0 11449
Description: Extended real version of subge0 10061. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 11321 . 2  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
2 0xr 9636 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR* )
4 rexr 9635 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
5 xnegcl 11408 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
6 xaddcl 11432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
75, 6sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
84, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
9 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11443 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A +e  -e
B )  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_  ( ( A +e  -e
B ) +e
B ) ) )
113, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_ 
( ( A +e  -e B ) +e B ) ) )
124adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
13 xaddid2 11435 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( 0 +e B )  =  B )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0 +e B )  =  B )
15 xnpcan 11440 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1614, 15breq12d 4460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0 +e
B )  <_  (
( A +e  -e B ) +e B )  <->  B  <_  A ) )
1711, 16bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
18 pnfxr 11317 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
19 xrletri3 11354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
2018, 19mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
21 mnflt0 11330 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
22 mnfxr 11319 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
23 xrltnle 9649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
2422, 2, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -.  0  <_ -oo
26 xaddmnf1 11423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2726breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <->  0  <_ -oo ) )
2825, 27mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) )
2928ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) ) )
3029necon4ad 2687 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  ->  A  = +oo ) )
31 0le0 10621 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
32 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
33 pnfaddmnf 11425 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
3432, 33syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
3531, 34syl5breqr 4483 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  0  <_  ( A +e -oo ) )
3630, 35impbid1 203 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <->  A  = +oo ) )
37 pnfge 11335 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
3837biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A
) ) )
3920, 36, 383bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo  <_  A
) )
4039adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo 
<_  A ) )
41 xnegeq 11402 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
42 xnegpnf 11404 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4341, 42syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  -e
B  = -oo )
4544oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4645breq2d 4459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e -oo )
) )
47 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4847adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4940, 46, 483bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
50 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  ( -oo +e +oo ) )
51 mnfaddpnf 11426 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
5250, 51syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5352adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5431, 53syl5breqr 4483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
55 0lepnf 11336 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
56 xaddpnf1 11421 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
5755, 56syl5breqr 4483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
5854, 57pm2.61dane 2785 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  0  <_ 
( A +e +oo ) )
59 mnfle 11338 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
6058, 592thd 240 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo  <_  A
) )
6160adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo 
<_  A ) )
62 xnegeq 11402 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  =  -e -oo )
63 xnegmnf 11405 . . . . . . . 8  |-  -e -oo  = +oo
6462, 63syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  = +oo )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -e
B  = +oo )
6665oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e +oo ) )
6766breq2d 4459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e +oo )
) )
68 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
6968adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
7061, 67, 693bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
7117, 49, 703jaodan 1294 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( 0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  B  <_  A ) )
721, 71sylan2b 475 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    -ecxne 11311   +ecxad 11312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-xneg 11314  df-xadd 11315
This theorem is referenced by:  xposdif  11450  ssblps  20660  ssbl  20661  xrsxmet  21049  esumle  27705  esumlef  27710
  Copyright terms: Public domain W3C validator