MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xsubge0 Structured version   Unicode version

Theorem xsubge0 11327
Description: Extended real version of subge0 9955. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 11199 . 2  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
2 0xr 9533 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR* )
4 rexr 9532 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
5 xnegcl 11286 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
6 xaddcl 11310 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
75, 6sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
84, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
9 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11321 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A +e  -e
B )  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_  ( ( A +e  -e
B ) +e
B ) ) )
113, 8, 9, 10syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_ 
( ( A +e  -e B ) +e B ) ) )
124adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
13 xaddid2 11313 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( 0 +e B )  =  B )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0 +e B )  =  B )
15 xnpcan 11318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1614, 15breq12d 4405 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0 +e
B )  <_  (
( A +e  -e B ) +e B )  <->  B  <_  A ) )
1711, 16bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
18 pnfxr 11195 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
19 xrletri3 11232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
2018, 19mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
21 mnflt0 11208 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
22 mnfxr 11197 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
23 xrltnle 9546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
2422, 2, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -.  0  <_ -oo
26 xaddmnf1 11301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2726breq2d 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <->  0  <_ -oo ) )
2825, 27mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) )
2928ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) ) )
3029necon4ad 2668 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  ->  A  = +oo ) )
31 0le0 10514 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
32 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
33 pnfaddmnf 11303 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
3432, 33syl6eq 2508 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
3531, 34syl5breqr 4428 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  0  <_  ( A +e -oo ) )
3630, 35impbid1 203 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <->  A  = +oo ) )
37 pnfge 11213 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
3837biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A
) ) )
3920, 36, 383bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo  <_  A
) )
4039adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo 
<_  A ) )
41 xnegeq 11280 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
42 xnegpnf 11282 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4341, 42syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  -e
B  = -oo )
4544oveq2d 6208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4645breq2d 4404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e -oo )
) )
47 breq1 4395 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4847adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4940, 46, 483bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
50 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  ( -oo +e +oo ) )
51 mnfaddpnf 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
5250, 51syl6eq 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5352adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5431, 53syl5breqr 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
55 0lepnf 11214 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
56 xaddpnf1 11299 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
5755, 56syl5breqr 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
5854, 57pm2.61dane 2766 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  0  <_ 
( A +e +oo ) )
59 mnfle 11216 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
6058, 592thd 240 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo  <_  A
) )
6160adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo 
<_  A ) )
62 xnegeq 11280 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  =  -e -oo )
63 xnegmnf 11283 . . . . . . . 8  |-  -e -oo  = +oo
6462, 63syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  = +oo )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -e
B  = +oo )
6665oveq2d 6208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e +oo ) )
6766breq2d 4404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e +oo )
) )
68 breq1 4395 . . . . 5  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
6968adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
7061, 67, 693bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
7117, 49, 703jaodan 1285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( 0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  B  <_  A ) )
721, 71sylan2b 475 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522    -ecxne 11189   +ecxad 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-xneg 11192  df-xadd 11193
This theorem is referenced by:  xposdif  11328  ssblps  20115  ssbl  20116  xrsxmet  20504  esumle  26644  esumlef  26649
  Copyright terms: Public domain W3C validator