MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xsubge0 Structured version   Unicode version

Theorem xsubge0 11478
Description: Extended real version of subge0 10086. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 11350 . 2  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
2 0xr 9657 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR* )
4 rexr 9656 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
5 xnegcl 11437 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
6 xaddcl 11461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
75, 6sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
84, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
9 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11472 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A +e  -e
B )  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_  ( ( A +e  -e
B ) +e
B ) ) )
113, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_ 
( ( A +e  -e B ) +e B ) ) )
124adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
13 xaddid2 11464 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( 0 +e B )  =  B )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0 +e B )  =  B )
15 xnpcan 11469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1614, 15breq12d 4469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0 +e
B )  <_  (
( A +e  -e B ) +e B )  <->  B  <_  A ) )
1711, 16bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
18 pnfxr 11346 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
19 xrletri3 11383 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
2018, 19mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
21 mnflt0 11359 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
22 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
23 xrltnle 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
2422, 2, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -.  0  <_ -oo
26 xaddmnf1 11452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2726breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <->  0  <_ -oo ) )
2825, 27mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) )
2928ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) ) )
3029necon4ad 2677 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  ->  A  = +oo ) )
31 0le0 10646 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
32 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
33 pnfaddmnf 11454 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
3432, 33syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
3531, 34syl5breqr 4492 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  0  <_  ( A +e -oo ) )
3630, 35impbid1 203 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <->  A  = +oo ) )
37 pnfge 11364 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
3837biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A
) ) )
3920, 36, 383bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo  <_  A
) )
4039adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo 
<_  A ) )
41 xnegeq 11431 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
42 xnegpnf 11433 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  -e
B  = -oo )
4544oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4645breq2d 4468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e -oo )
) )
47 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4847adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4940, 46, 483bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
50 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  ( -oo +e +oo ) )
51 mnfaddpnf 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
5250, 51syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5352adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5431, 53syl5breqr 4492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
55 0lepnf 11365 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
56 xaddpnf1 11450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
5755, 56syl5breqr 4492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
5854, 57pm2.61dane 2775 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  0  <_ 
( A +e +oo ) )
59 mnfle 11367 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
6058, 592thd 240 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo  <_  A
) )
6160adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo 
<_  A ) )
62 xnegeq 11431 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  =  -e -oo )
63 xnegmnf 11434 . . . . . . . 8  |-  -e -oo  = +oo
6462, 63syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  = +oo )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -e
B  = +oo )
6665oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e +oo ) )
6766breq2d 4468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e +oo )
) )
68 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
6968adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
7061, 67, 693bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
7117, 49, 703jaodan 1294 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( 0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  B  <_  A ) )
721, 71sylan2b 475 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    -ecxne 11340   +ecxad 11341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-xneg 11343  df-xadd 11344
This theorem is referenced by:  xposdif  11479  ssblps  21050  ssbl  21051  xrsxmet  21439  esumle  28220  esumlef  28225
  Copyright terms: Public domain W3C validator