MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xsubge0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xsubge0 11572
Description: Extended real version of subge0 10148. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 11439 . 2  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
2 0xr 9705 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR* )
4 rexr 9704 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
5 xnegcl 11529 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
6 xaddcl 11554 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
75, 6sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
84, 7sylan2 482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
9 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11566 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A +e  -e
B )  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_  ( ( A +e  -e
B ) +e
B ) ) )
113, 8, 9, 10syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  ( 0 +e B )  <_ 
( ( A +e  -e B ) +e B ) ) )
124adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
13 xaddid2 11557 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( 0 +e B )  =  B )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0 +e B )  =  B )
15 xnpcan 11563 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1614, 15breq12d 4408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0 +e
B )  <_  (
( A +e  -e B ) +e B )  <->  B  <_  A ) )
1711, 16bitrd 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
18 pnfxr 11435 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
19 xrletri3 11474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
2018, 19mpan2 685 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A ) ) )
21 mnflt0 11450 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
22 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
23 xrltnle 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
2422, 2, 23mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
2521, 24mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  -.  0  <_ -oo
26 xaddmnf1 11544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2726breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <->  0  <_ -oo ) )
2825, 27mtbiri 310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) )
2928ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  -.  0  <_  ( A +e -oo ) ) )
3029necon4ad 2662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  ->  A  = +oo ) )
31 0le0 10721 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
32 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
33 pnfaddmnf 11546 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
3432, 33syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
3531, 34syl5breqr 4432 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  0  <_  ( A +e -oo ) )
3630, 35impbid1 208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <->  A  = +oo ) )
37 pnfge 11455 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
3837biantrurd 516 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  ( A  <_ +oo  /\ +oo  <_  A
) ) )
3920, 36, 383bitr4d 293 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo  <_  A
) )
4039adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e -oo )  <-> +oo 
<_  A ) )
41 xnegeq 11523 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
42 xnegpnf 11525 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4341, 42syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4443adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  -e
B  = -oo )
4544oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4645breq2d 4407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e -oo )
) )
47 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4847adantl 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( B  <_  A  <-> +oo  <_  A
) )
4940, 46, 483bitr4d 293 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
50 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  ( -oo +e +oo ) )
51 mnfaddpnf 11547 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
5250, 51syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5352adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e +oo )  =  0 )
5431, 53syl5breqr 4432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  = -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
55 0lepnf 11456 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
56 xaddpnf1 11542 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
5755, 56syl5breqr 4432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  0  <_  ( A +e +oo ) )
5854, 57pm2.61dane 2730 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  0  <_ 
( A +e +oo ) )
59 mnfle 11458 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
6058, 592thd 248 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo  <_  A
) )
6160adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e +oo )  <-> -oo 
<_  A ) )
62 xnegeq 11523 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  =  -e -oo )
63 xnegmnf 11526 . . . . . . . 8  |-  -e -oo  = +oo
6462, 63syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( B  = -oo  ->  -e
B  = +oo )
6564adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -e
B  = +oo )
6665oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e +oo ) )
6766breq2d 4407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  0  <_  ( A +e +oo )
) )
68 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
6968adantl 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( B  <_  A  <-> -oo  <_  A
) )
7061, 67, 693bitr4d 293 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  = -oo )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
7117, 49, 703jaodan 1360 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( 0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  B  <_  A ) )
721, 71sylan2b 483 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    -ecxne 11429   +ecxad 11430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xadd 11433
This theorem is referenced by:  xposdif  11573  ssblps  21515  ssbl  21516  xrsxmet  21905  xrge0subcld  28420  esumle  28953  esumlef  28957
  Copyright terms: Public domain W3C validator