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Theorem xrub 11604
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem xrub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  B  <->  z  <  B ) )
2 breq1 4426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  y  <->  z  <  y ) )
32rexbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
41, 3imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
54cbvralv 3054 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
6 elxr 11423 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
7 pm2.27 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9 pnfnlt 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  ->  -. +oo  <  B )
10 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  <-> +oo  <  B
) )
1110notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  B  <->  -. +oo  <  B ) )
129, 11syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <  B ) )
13 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  <  B  -> 
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
1412, 13syl6com 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1514ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1615a1dd 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
17 elxr 11423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
18 peano2rem 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
19 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  B  <->  ( B  -  1 )  < 
B ) )
20 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  y  <->  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2120rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2219, 21imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) ) )
2322rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2524adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
26 ltm1 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  <  B )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  ( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2826, 27syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
3018ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
31 mnflt 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
33 rexr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
35 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
3635adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
37 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
38 xrlttr 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
3937, 38mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4034, 36, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4132, 40mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( B  -  1 )  <  y  -> -oo  <  y ) )
4241reximdva 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4325, 29, 423syld 57 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4443a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
45 1re 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
46 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  B  <->  1  <  B ) )
47 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  y  <->  1  <  y ) )
4847rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  1  <  y ) )
4946, 48imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A  1  <  y ) ) )
5049rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
) )
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
52 ltpnf 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
54 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  = +oo  ->  (
1  <  B  <->  1  < +oo ) )
5553, 54mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = +oo  ->  1  <  B )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
5755, 56syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = +oo  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
58 mnflt 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  -> -oo  <  1 )
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  <  1
60 rexr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
62 xrlttr 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6337, 61, 62mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6459, 63mpani 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 1  <  y  -> -oo  <  y ) )
6535, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  (
1  <  y  -> -oo 
<  y ) )
6665reximdva 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. y  e.  A  1  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
6757, 66sylan9r 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6851, 67syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6968a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
70 xrltnr 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. -oo  < -oo
72 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = -oo  ->  ( -oo  <  B  <-> -oo  < -oo ) )
7371, 72mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = -oo  ->  -. -oo 
<  B )
7473adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -. -oo 
<  B )
7574pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
7675a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7744, 69, 763jaodan 1330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
7817, 77sylan2b 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7978imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
80 breq1 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  B  <-> -oo  <  B
) )
81 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
8281rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
8380, 82imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
8479, 83syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
8584a1dd 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
868, 16, 853jaod 1328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo )  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
876, 86syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8887com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8988ralimdv2 2829 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9089ex 435 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
915, 90syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9291pm2.43d 50 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
93 rexr 9693 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
9493imim1i 60 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9594ralimi2 2812 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
9692, 95impbid1 206 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   1c1 9547   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    - cmin 9867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870
This theorem is referenced by:  supxr  11605
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