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Theorem xrub 11528
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem xrub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4459 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  B  <->  z  <  B ) )
2 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  y  <->  z  <  y ) )
32rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
54cbvralv 3084 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
6 elxr 11350 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
7 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9 pnfnlt 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  ->  -. +oo  <  B )
10 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  <-> +oo  <  B
) )
1110notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  B  <->  -. +oo  <  B ) )
129, 11syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <  B ) )
13 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  <  B  -> 
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
1412, 13syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1615a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
17 elxr 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
18 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
19 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  B  <->  ( B  -  1 )  < 
B ) )
20 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  y  <->  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2120rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) ) )
2322rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2418, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
26 ltm1 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  <  B )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  ( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2826, 27syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
3018ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
31 mnflt 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
33 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
35 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
37 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
38 xrlttr 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
3937, 38mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4034, 36, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4132, 40mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( B  -  1 )  <  y  -> -oo  <  y ) )
4241reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4325, 29, 423syld 55 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4443a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
45 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
46 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  B  <->  1  <  B ) )
47 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  y  <->  1  <  y ) )
4847rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  1  <  y ) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A  1  <  y ) ) )
5049rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
) )
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
52 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
54 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  = +oo  ->  (
1  <  B  <->  1  < +oo ) )
5553, 54mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = +oo  ->  1  <  B )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
5755, 56syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = +oo  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
58 mnflt 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  -> -oo  <  1 )
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  <  1
60 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
62 xrlttr 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6337, 61, 62mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6459, 63mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 1  <  y  -> -oo  <  y ) )
6535, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  (
1  <  y  -> -oo 
<  y ) )
6665reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. y  e.  A  1  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
6757, 66sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6851, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6968a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
70 xrltnr 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. -oo  < -oo
72 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = -oo  ->  ( -oo  <  B  <-> -oo  < -oo ) )
7371, 72mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = -oo  ->  -. -oo 
<  B )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -. -oo 
<  B )
7574pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7744, 69, 763jaodan 1294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
7817, 77sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
80 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  B  <-> -oo  <  B
) )
81 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
8281rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
8380, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
8479, 83syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
8584a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
868, 16, 853jaod 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo )  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
876, 86syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8887com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8988ralimdv2 2864 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9089ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
915, 90syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9291pm2.43d 48 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
93 rexr 9656 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
9493imim1i 58 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9594ralimi2 2847 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
9692, 95impbid1 203 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by:  supxr  11529
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