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Theorem xrub 11274
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem xrub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4295 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  B  <->  z  <  B ) )
2 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <  y  <->  z  <  y ) )
32rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
54cbvralv 2947 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
6 elxr 11096 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
7 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9 pnfnlt 11108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  ->  -. +oo  <  B )
10 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  <-> +oo  <  B
) )
1110notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  B  <->  -. +oo  <  B ) )
129, 11syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <  B ) )
13 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  <  B  -> 
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
1412, 13syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  = +oo  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
1615a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = +oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
17 elxr 11096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
18 peano2rem 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
19 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  B  <->  ( B  -  1 )  < 
B ) )
20 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
z  <  y  <->  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2120rexbidv 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) )
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  - 
1 )  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1 )  < 
y ) ) )
2322rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2418, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
) )
26 ltm1 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  <  B )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  -  1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  ( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2826, 27syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( B  - 
1 )  <  B  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )  ->  E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y )
)
3018ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
31 mnflt 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  -> -oo  <  ( B  -  1 ) )
33 rexr 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  -  1 )  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR* )
35 ssel2 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
37 mnfxr 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
38 xrlttr 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
3937, 38mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  -  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4034, 36, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( -oo  <  ( B  -  1 )  /\  ( B  -  1
)  <  y )  -> -oo  <  y )
)
4132, 40mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( B  -  1 )  <  y  -> -oo  <  y ) )
4241reximdva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( B  -  1
)  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4325, 29, 423syld 55 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
4443a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
45 1re 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
46 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  B  <->  1  <  B ) )
47 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <  y  <->  1  <  y ) )
4847rexbidv 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  1  ->  ( E. y  e.  A  z  <  y  <->  E. y  e.  A  1  <  y ) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  <->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A  1  <  y ) ) )
5049rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
) )
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
52 ltpnf 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
54 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  = +oo  ->  (
1  <  B  <->  1  < +oo ) )
5553, 54mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = +oo  ->  1  <  B )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  ( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
5755, 56syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = +oo  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )
)
58 mnflt 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  -> -oo  <  1 )
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  <  1
60 rexr 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
62 xrlttr 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6337, 61, 62mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  1  /\  1  <  y )  -> -oo  <  y ) )
6459, 63mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 1  <  y  -> -oo  <  y ) )
6535, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  (
1  <  y  -> -oo 
<  y ) )
6665reximdva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. y  e.  A  1  <  y  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
6757, 66sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  (
( 1  <  B  ->  E. y  e.  A 
1  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6851, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
6968a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = +oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
70 xrltnr 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. -oo  < -oo
72 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  = -oo  ->  ( -oo  <  B  <-> -oo  < -oo ) )
7371, 72mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  = -oo  ->  -. -oo 
<  B )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  -. -oo 
<  B )
7574pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  = -oo )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7744, 69, 763jaodan 1284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( A. z  e.  RR  ( z  < 
B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
7817, 77sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y ) )
80 breq1 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  B  <-> -oo  <  B
) )
81 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
8281rexbidv 2736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A -oo  <  y
) )
8380, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  (
( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  ( -oo  <  B  ->  E. y  e.  A -oo  <  y
) ) )
8479, 83syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
8584a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  = -oo  ->  ( (
x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
868, 16, 853jaod 1282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo )  ->  (
( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
876, 86syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8887com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( ( x  e.  RR  ->  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e. 
RR*  ->  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
8988ralimdv2 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9089ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. z  e.  RR  ( z  <  B  ->  E. y  e.  A  z  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
915, 90syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  -> 
( A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
9291pm2.43d 48 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR*  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
93 rexr 9429 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
9493imim1i 58 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
9594ralimi2 2788 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
9692, 95impbid1 203 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   1c1 9283   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417    < clt 9418    - cmin 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598
This theorem is referenced by:  supxr  11275
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