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Theorem xrtgioo 21822
 Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 ordTop t
Assertion
Ref Expression
xrtgioo

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 20220 . . . . . . . 8 ordTop
2 ioof 11739 . . . . . . . . . . 11
3 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
5 iooordt 20231 . . . . . . . . . . 11 ordTop
65rgen2w 2784 . . . . . . . . . 10 ordTop
7 ffnov 6414 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
84, 6, 7mpbir2an 928 . . . . . . . . 9 ordTop
9 frn 5752 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ordTop
11 tgss 19982 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
121, 10, 11mp2an 676 . . . . . . 7 ordTop
13 tgtop 19987 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ordTop ordTop
1512, 14sseqtri 3496 . . . . . 6 ordTop
1615sseli 3460 . . . . 5 ordTop
17 retopon 21782 . . . . . 6 TopOn
18 toponss 19942 . . . . . 6 TopOn
1917, 18mpan 674 . . . . 5
20 reordt 20232 . . . . . 6 ordTop
21 restopn2 20191 . . . . . 6 ordTop ordTop ordTop t ordTop
221, 20, 21mp2an 676 . . . . 5 ordTop t ordTop
2316, 19, 22sylanbrc 668 . . . 4 ordTop t
2423ssriv 3468 . . 3 ordTop t
25 eqid 2422 . . . . . . 7
26 eqid 2422 . . . . . . 7
27 eqid 2422 . . . . . . 7
2825, 26, 27leordtval 20227 . . . . . 6 ordTop
2928oveq1i 6315 . . . . 5 ordTop t t
3028, 1eqeltrri 2504 . . . . . . 7
31 tgclb 19984 . . . . . . 7
3230, 31mpbir 212 . . . . . 6
33 reex 9637 . . . . . 6
34 tgrest 20173 . . . . . 6 t t
3532, 33, 34mp2an 676 . . . . 5 t t
3629, 35eqtr4i 2454 . . . 4 ordTop t t
37 retopbas 21779 . . . . 5
38 elrest 15325 . . . . . . . 8 t
3932, 33, 38mp2an 676 . . . . . . 7 t
40 elun 3606 . . . . . . . . . 10
41 elun 3606 . . . . . . . . . . . 12
42 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443elrnmpt 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
46 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
49 rexr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51 df-ioc 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5251elixx3g 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5352baib 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5446, 48, 50, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 pnfge 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5756biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 ltpnf 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6059biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6154, 57, 603bitr2d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6563, 64bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6762, 65, 663bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 elioo2 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6947, 68mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7067, 69bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 ioorebas 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7371, 72syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776rexlimiv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14
7845, 77sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13
79 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079elrnmpt 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
82 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 df-ico 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8584elixx3g 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8685baib 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8783, 46, 50, 86syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
88 mnfle 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9089biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91 mnflt 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9291adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9392biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9487, 90, 933bitr2d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9594pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 97bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10095, 98, 993bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 elioo2 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10282, 101mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 102bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 ioorebas 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106104, 105syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109106, 108syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109rexlimiv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14
11181, 110sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13
11278, 111jaoi 380 . . . . . . . . . . . 12
11341, 112sylbi 198 . . . . . . . . . . 11
114 elssuni 4248 . . . . . . . . . . . . . 14
115 unirnioo 11741 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . 13
117 df-ss 3450 . . . . . . . . . . . . 13
118116, 117sylib 199 . . . . . . . . . . . 12
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12
120118, 119eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11
121113, 120jaoi 380 . . . . . . . . . 10
12240, 121sylbi 198 . . . . . . . . 9
123 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
124122, 123syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8
125124rexlimiv 2908 . . . . . . 7
12639, 125sylbi 198 . . . . . 6 t
127126ssriv 3468 . . . . 5 t
128 tgss 19982 . . . . 5 t t
12937, 127, 128mp2an 676 . . . 4 t
13036, 129eqsstri 3494 . . 3 ordTop t
13124, 130eqssi 3480 . 2 ordTop t
132 xrtgioo.1 . 2 ordTop t
133131, 132eqtr4i 2454 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   cun 3434   cin 3435   wss 3436  cpw 3981  cuni 4219   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851   crn 4854   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545   cpnf 9679   cmnf 9680  cxr 9681   clt 9682   cle 9683  cioo 11642  cioc 11643  cico 11644   ↾t crest 15318  ctg 15335  ordTopcordt 15396  ctop 19915  TopOnctopon 19916  ctb 19918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-ordt 15398  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921 This theorem is referenced by:  xrrest  21823  xrsmopn  21828  xrge0tsms  21850  metdcn2  21855  xrge0tsmsd  28556
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