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Theorem xrtgioo 20395
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 18822 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 18833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2796 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 911 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5577 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 18585 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 18590 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3400 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3364 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 20354 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 18546 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 18834 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 18793 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 672 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3372 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
26 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 18829 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6113 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2514 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 18587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9385 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 18775 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2466 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 20351 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 14378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 2987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
4443elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
49 rexr 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  y  e.  RR* )  /\  ( x  < 
y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5352baib 896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
55 pnfge 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_ +oo )
5756biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
58 ltpnf 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  < +oo )
6059biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6261pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) ) )
63 elin 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
66 3anass 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  < +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
68 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
6947, 68mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  y  e.  ( x (,) +oo ) ) )
7170eqrdv 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,) +oo )
)
72 ioorebas 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,) +oo )  e. 
ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
7845, 77sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) )
82 mnfxr 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
84 df-ico 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  ( -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
8950, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <_  y )
9089biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <  y )
9392biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR ) )
97 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) ) )
99 3anass 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\ -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  =  ( -oo (,) x
) )
105 ioorebas 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
107 ineq1 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( ( -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 11401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2847 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3372 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 18585 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3398 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3384 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2466 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    u. cun 3338    i^i cin 3339    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   U.cuni 4103   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362    X. cxp 4850   ran crn 4853    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   +oocpnf 9427   -oocmnf 9428   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   (,)cioo 11312   (,]cioc 11313   [,)cico 11314   ↾t crest 14371   topGenctg 14388  ordTopcordt 14449   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   TopBasesctb 18514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-ordt 14451  df-ps 15382  df-tsr 15383  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518
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