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Theorem xrtgioo 21822
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 20220 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 20231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2784 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 928 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 19982 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 19987 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3496 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3460 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 21782 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 19942 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 674 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 20232 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 20191 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 676 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3468 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
26 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
27 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 20227 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6315 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2504 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 19984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 212 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9637 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 20173 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 676 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2454 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 21779 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 15325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
4443elrnmpt 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) )
46 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
49 rexr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  y  e.  RR* )  /\  ( x  < 
y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5352baib 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
55 pnfge 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_ +oo )
5756biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
58 ltpnf 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  < +oo )
6059biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6261pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) ) )
63 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
6563, 64bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
66 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  < +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
68 elioo2 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
6947, 68mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  y  e.  ( x (,) +oo ) ) )
7170eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,) +oo )
)
72 ioorebas 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,) +oo )  e. 
ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
7845, 77sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) )
82 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
84 df-ico 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  ( -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <_  y )
9089biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
9291adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <  y )
9392biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR ) )
97 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) ) )
99 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\ -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  =  ( -oo (,) x
) )
105 ioorebas 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
107 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( ( -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 11741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2908 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3468 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 19982 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 676 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3494 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3480 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2454 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3981   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   ran crn 4854    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   (,)cioo 11642   (,]cioc 11643   [,)cico 11644   ↾t crest 15318   topGenctg 15335  ordTopcordt 15396   Topctop 19915  TopOnctopon 19916   TopBasesctb 19918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-ordt 15398  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921
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