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Theorem xrtgioo 21437
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 19834 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 11647 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 19845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2819 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 920 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 19597 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 19602 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3531 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3495 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 21396 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 19557 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 19846 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 19805 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 672 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3503 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
26 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
27 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 19841 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2542 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 19599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9600 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 19787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2489 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 21393 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 14845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
4443elrnmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
49 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  y  e.  RR* )  /\  ( x  < 
y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5352baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
55 pnfge 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_ +oo )
5756biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
58 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  < +oo )
6059biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6261pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) ) )
63 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
66 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  < +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
68 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
6947, 68mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  y  e.  ( x (,) +oo ) ) )
7170eqrdv 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,) +oo )
)
72 ioorebas 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,) +oo )  e. 
ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
7845, 77sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) )
82 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
84 df-ico 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  ( -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
8950, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <_  y )
9089biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <  y )
9392biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR ) )
97 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) ) )
99 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\ -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  =  ( -oo (,) x
) )
105 ioorebas 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
107 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( ( -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 11649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2943 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3503 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 19597 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3529 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3515 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2489 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   [,)cico 11556   ↾t crest 14838   topGenctg 14855  ordTopcordt 14916   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   TopBasesctb 19525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529
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