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Theorem xrtgioo 21062
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 19489 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 11621 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 19500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2826 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 918 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5736 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 19252 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 19257 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3536 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3500 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 21021 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 19213 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 19501 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 19460 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 672 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3508 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
26 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 19496 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6293 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2552 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 19254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9582 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 19442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 21018 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 14682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
4443elrnmpt 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
49 rexr 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  y  e.  RR* )  /\  ( x  < 
y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5352baib 901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
55 pnfge 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_ +oo )
5756biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
58 ltpnf 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  < +oo )
6059biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6261pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) ) )
63 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
66 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  < +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
68 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
6947, 68mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  y  e.  ( x (,) +oo ) ) )
7170eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,) +oo )
)
72 ioorebas 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,) +oo )  e. 
ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
7845, 77sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) )
82 mnfxr 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
84 df-ico 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  ( -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
8950, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <_  y )
9089biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <  y )
9392biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR ) )
97 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) ) )
99 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\ -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  =  ( -oo (,) x
) )
105 ioorebas 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
107 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( ( -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 11623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2949 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3508 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 19252 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3534 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3520 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2499 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   RRcr 9490   +oocpnf 9624   -oocmnf 9625   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628   (,)cioo 11528   (,]cioc 11529   [,)cico 11530   ↾t crest 14675   topGenctg 14692  ordTopcordt 14753   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   TopBasesctb 19181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7870  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-rest 14677  df-topgen 14698  df-ordt 14755  df-ps 15686  df-tsr 15687  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185
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