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Theorem xrtgioo 21601
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 19998 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 11674 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 20009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2765 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 921 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 19760 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 19765 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3473 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3437 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 21560 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 19720 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 668 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 20010 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 19969 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3445 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
26 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
27 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 20005 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2487 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 19762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9612 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 19951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 670 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 21557 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 15040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
4443elrnmpt 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo ) )
46 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
49 rexr 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  y  e.  RR* )  /\  ( x  < 
y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5352baib 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
55 pnfge 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_ +oo )
5756biantrud 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_ +oo ) ) )
58 ltpnf 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  < +oo )
6059biantrud 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6261pm5.32da 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) ) )
63 elin 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,] +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,] +oo ) ) )
66 3anass 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  < +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
68 elioo2 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
6947, 68mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  < +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i 
RR )  <->  y  e.  ( x (,) +oo ) ) )
7170eqrdv 2399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,) +oo )
)
72 ioorebas 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,) +oo )  e. 
ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,] +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] +oo )  ->  ( v  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
7845, 77sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x ) )
82 mnfxr 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
84 df-ico 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  ( -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <_  y )
9089biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
9291adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  -> -oo  <  y )
9392biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR ) )
97 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( -oo [,) x ) ) )
99 3anass 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\ -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\ -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  =  ( -oo (,) x
) )
105 ioorebas 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR )  e. 
ran  (,) )
107 ineq1 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( ( -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  \/  v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 11676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2889 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3445 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 19760 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 670 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3471 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3457 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2434 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   ran crn 4823    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   +oocpnf 9654   -oocmnf 9655   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   (,)cioo 11581   (,]cioc 11582   [,)cico 11583   ↾t crest 15033   topGenctg 15050  ordTopcordt 15111   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   TopBasesctb 19688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-ordt 15113  df-ps 16152  df-tsr 16153  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692
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