MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsxmet Structured version   Unicode version

Theorem xrsxmet 21399
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 11136 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  e.  _V )
3 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
4 xnegcl 11333 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e
x  e.  RR* )
5 xaddcl 11357 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  ->  ( y +e  -e x )  e. 
RR* )
63, 4, 5syl2anr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y +e  -e x )  e. 
RR* )
7 xnegcl 11333 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  -e
y  e.  RR* )
8 xaddcl 11357 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -e
y  e.  RR* )  ->  ( x +e  -e y )  e. 
RR* )
97, 8sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e  -e y )  e. 
RR* )
106, 9ifcld 3900 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
1110rgen2a 2809 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*
12 xrsxmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
1312xrsds 18574 . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
1413fmpt2 6766 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*  <->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1511, 14mpbi 208 . . . 4  |-  D :
( RR*  X.  RR* ) --> RR*
1615a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
17 breq2 4371 . . . . . 6  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( y +e  -e x )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
18 breq2 4371 . . . . . 6  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( x +e  -e y )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
19 xsubge0 11374 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2019ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2120biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  0  <_  (
y +e  -e x ) )
22 xrletri 11278 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
2322orcanai 911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  y  <_  x )
24 xsubge0 11374 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( x +e  -e y )  <->  y  <_  x
) )
2524biimpar 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  y  <_  x )  ->  0  <_  (
x +e  -e y ) )
2623, 25syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  0  <_  ( x +e  -e y ) )
2717, 18, 21, 26ifbothda 3892 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
2812xrsdsval 18575 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
2927, 28breqtrrd 4393 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  ( x D y ) )
3029adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
3129biantrud 505 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  ( (
x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3228, 10eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
33 0xr 9551 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
34 xrletri3 11279 . . . . . 6  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3532, 33, 34sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
36 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
37 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  =  0 )
38 0re 9507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3937, 38syl6eqel 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  e.  RR )
4012xrsdsreclb 18578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
41403expa 1194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( (
x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4241adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
4443simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  RR )
4544recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  CC )
4643simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  RR )
4746recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  CC )
48 rexsub 11353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
5028eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
5150biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
53 xneg11 11335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (  -e
( y +e  -e x )  = 
-e 0  <->  (
y +e  -e x )  =  0 ) )
546, 33, 53sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( y +e  -e x )  =  0 ) )
55 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
564adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
x  e.  RR* )
57 xnegdi 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  -> 
-e ( y +e  -e
x )  =  ( 
-e y +e  -e  -e x ) )
5855, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  (  -e y +e  -e  -e x ) )
59 xnegneg 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e  -e x  =  x )
6059adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e  -e x  =  x )
6160oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e  -e  -e x )  =  (  -e y +e
x ) )
627adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
y  e.  RR* )
63 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
64 xaddcom 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-e y  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  -e
y +e x )  =  ( x +e  -e
y ) )
6562, 63, 64syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e
x )  =  ( x +e  -e y ) )
6658, 61, 653eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  ( x +e  -e y ) )
67 xneg0 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e 0  =  0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e 0  =  0 )
6966, 68eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7054, 69bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
72 biidd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
73 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( y +e  -e
x )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7473bibi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
75 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( x +e  -e
y )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7675bibi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
7774, 76ifboth 3893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  (
x +e  -e y )  =  0 )  /\  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7871, 72, 77syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7952, 78mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  0 )
8049, 79eqtr3d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  -  y )  =  0 )
8145, 47, 80subeq0d 9852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =  y )
8236, 81pm2.61dane 2700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  x  =  y )
8382ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  ->  x  =  y )
)
8412xrsdsval 18575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  if ( y  <_  y ,  ( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
8584anidms 643 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  if ( y  <_ 
y ,  ( y +e  -e
y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
86 xrleid 11277 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
8786iftrued 3865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  if ( y  <_  y , 
( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e y ) )
88 xnegid 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y +e  -e
y )  =  0 )
8985, 87, 883eqtrd 2427 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  0 )
9089adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  0 )
91 oveq1 6203 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D y ) )
9291eqeq1d 2384 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
y D y )  =  0 ) )
9390, 92syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  -> 
( x D y )  =  0 ) )
9483, 93impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
9531, 35, 943bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
9695adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
97 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  RR )
9897leidd 10036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  <_  ( z D y ) )
99 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  z  =  x )
10099oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( x D y ) )
10199oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  ( x D x ) )
102 simpll1 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  x  e.  RR* )
103 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  x  /\  y  =  x )  ->  ( y D y )  =  ( x D x ) )
104103anidms 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y D y )  =  ( x D x ) )
105104eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( y D y )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
106105, 89vtoclga 3098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x D x )  =  0 )
107102, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D x )  =  0 )
108101, 107eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  0 )
109108oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( 0  +  ( z D y ) ) )
11097recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  CC )
111110addid2d 9692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( 0  +  ( z D y ) )  =  ( z D y ) )
112109, 111eqtr2d 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
11398, 100, 1123brtr3d 4396 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
114 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  z  =  y )
115114oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  =  ( y D x ) )
116 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  e.  RR )
117115, 116eqeltrrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  RR )
118117leidd 10036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  <_  ( y D x ) )
119 simpll1 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  x  e.  RR* )
120 simpll2 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  y  e.  RR* )
121 oveq2 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
y D x )  =  ( y D y ) )
12291, 121eqtr4d 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
123122adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
124 eqeq2 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
125 eqeq2 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e x )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
126 xrleloe 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
127126adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
128 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
129128neneqd 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  x  =  y )
130 biorf 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  =  y  \/  x  <  y ) ) )
131 orcom 385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  y  \/  x  <  y )  <-> 
( x  <  y  \/  x  =  y
) )
132130, 131syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
133129, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
134 xrltnle 9564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
135134adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
136127, 133, 1353bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <_  x ) )
137136con2bid 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <_  y ) )
138137biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  -.  x  <_  y )
139138iffalsed 3868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y ) )
140136biimpar 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  x  <_  y )
141140iftrued 3865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  ( y +e  -e x ) )
142124, 125, 139, 141ifbothda 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  if (
x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
14328adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
14412xrsdsval 18575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
145144ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
146145adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) ) )
147142, 143, 1463eqtr4d 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
148123, 147pm2.61dane 2700 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
149119, 120, 148syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
150114oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  ( y D y ) )
151120, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D y )  =  0 )
152150, 151eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  0 )
153115, 152oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( y D x )  +  0 ) )
154117recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  CC )
155154addid1d 9691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( y D x )  +  0 )  =  ( y D x ) )
156153, 155eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( y D x ) )
157118, 149, 1563brtr4d 4397 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
158 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  e.  RR )
159 simpll3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR* )
160 simpll1 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR* )
161 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  x )
16212xrsdsreclb 18578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  =/=  x )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
163159, 160, 161, 162syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
164158, 163mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
165164simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR )
166165recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  CC )
167 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  e.  RR )
168 simpll2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR* )
169 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  y )
17012xrsdsreclb 18578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  =/=  y )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
171159, 168, 169, 170syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
172167, 171mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
173172simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR )
174173recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  CC )
175164simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR )
176175recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  CC )
177166, 174, 176abs3difd 13293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  z ) )  +  ( abs `  ( z  -  y
) ) ) )
17812xrsdsreval 18576 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
179165, 173, 178syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
18012xrsdsreval 18576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z D x )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
181164, 180syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
z  -  x ) ) )
182176, 166abssubd 13286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( z  -  x ) )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
183181, 182eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
18412xrsdsreval 18576 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z D y )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
185172, 184syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  =  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
186183, 185oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  +  ( abs `  ( z  -  y ) ) ) )
187177, 179, 1863brtr4d 4397 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
188113, 157, 187pm2.61da2ne 2701 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1891883adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1902, 16, 30, 96, 189isxmet2d 20915 . 2  |-  ( T. 
->  D  e.  ( *Met `  RR* )
)
191190trud 1408 1  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   _Vcvv 3034   ifcif 3857   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    -ecxne 11236   +ecxad 11237   abscabs 13069   distcds 14711   RR*scxrs 14907   *Metcxmt 18516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-icc 11457  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-xrs 14909  df-xmet 18525
This theorem is referenced by:  xrsdsre  21400  xrsblre  21401  xrsmopn  21402  metdcnlem  21426  xmetdcn2  21427  xmetdcn  21428  metdscn  21445  metdscn2  21446
  Copyright terms: Public domain W3C validator