MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsxmet Structured version   Unicode version

Theorem xrsxmet 20398
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 11000 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  e.  _V )
3 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
4 xnegcl 11195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e
x  e.  RR* )
5 xaddcl 11219 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  ->  ( y +e  -e x )  e. 
RR* )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y +e  -e x )  e. 
RR* )
7 xnegcl 11195 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  -e
y  e.  RR* )
8 xaddcl 11219 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -e
y  e.  RR* )  ->  ( x +e  -e y )  e. 
RR* )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e  -e y )  e. 
RR* )
10 ifcl 3843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  ( x +e  -e y )  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
116, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
1211rgen2a 2794 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*
13 xrsxmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
1413xrsds 17868 . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
1514fmpt2 6653 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*  <->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1612, 15mpbi 208 . . . 4  |-  D :
( RR*  X.  RR* ) --> RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
18 breq2 4308 . . . . . 6  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( y +e  -e x )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
19 breq2 4308 . . . . . 6  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( x +e  -e y )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
20 xsubge0 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2120ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2221biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  0  <_  (
y +e  -e x ) )
23 xrletri 11140 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
2423orcanai 904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  y  <_  x )
25 xsubge0 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( x +e  -e y )  <->  y  <_  x
) )
2625biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  y  <_  x )  ->  0  <_  (
x +e  -e y ) )
2724, 26syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  0  <_  ( x +e  -e y ) )
2818, 19, 22, 27ifbothda 3836 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
2913xrsdsval 17869 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
3028, 29breqtrrd 4330 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  ( x D y ) )
3130adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
3230biantrud 507 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  ( (
x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3329, 11eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
34 0xr 9442 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
35 xrletri3 11141 . . . . . 6  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3633, 34, 35sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
37 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  =  0 )
39 0re 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
4038, 39syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  e.  RR )
4113xrsdsreclb 17872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
42413expa 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( (
x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
4544simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  RR )
4645recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  CC )
4744simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  RR )
4847recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  CC )
49 rexsub 11215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
5129eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
5251biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
54 xneg11 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (  -e
( y +e  -e x )  = 
-e 0  <->  (
y +e  -e x )  =  0 ) )
556, 34, 54sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( y +e  -e x )  =  0 ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
x  e.  RR* )
58 xnegdi 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  -> 
-e ( y +e  -e
x )  =  ( 
-e y +e  -e  -e x ) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  (  -e y +e  -e  -e x ) )
60 xnegneg 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e  -e x  =  x )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e  -e x  =  x )
6261oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e  -e  -e x )  =  (  -e y +e
x ) )
637adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
y  e.  RR* )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
65 xaddcom 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-e y  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  -e
y +e x )  =  ( x +e  -e
y ) )
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e
x )  =  ( x +e  -e y ) )
6759, 62, 663eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  ( x +e  -e y ) )
68 xneg0 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e 0  =  0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e 0  =  0 )
7067, 69eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7155, 70bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
73 biidd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
74 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( y +e  -e
x )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7574bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
76 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( x +e  -e
y )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7776bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
7875, 77ifboth 3837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  (
x +e  -e y )  =  0 )  /\  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7972, 73, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
8053, 79mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  0 )
8150, 80eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  -  y )  =  0 )
8246, 48, 81subeq0d 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =  y )
8337, 82pm2.61dane 2701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  x  =  y )
8483ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  ->  x  =  y )
)
8513xrsdsval 17869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  if ( y  <_  y ,  ( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
8685anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  if ( y  <_ 
y ,  ( y +e  -e
y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
87 xrleid 11139 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
88 iftrue 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  y  ->  if ( y  <_  y ,  ( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
y ) )  =  ( y +e  -e y ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  if ( y  <_  y , 
( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e y ) )
90 xnegid 11218 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y +e  -e
y )  =  0 )
9186, 89, 903eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  0 )
9291adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  0 )
93 oveq1 6110 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D y ) )
9493eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
y D y )  =  0 ) )
9592, 94syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  -> 
( x D y )  =  0 ) )
9684, 95impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
9732, 36, 963bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
9897adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
99 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  RR )
10099leidd 9918 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  <_  ( z D y ) )
101 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  z  =  x )
102101oveq1d 6118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( x D y ) )
103101oveq1d 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  ( x D x ) )
104 simpll1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  x  e.  RR* )
105 oveq12 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  x  /\  y  =  x )  ->  ( y D y )  =  ( x D x ) )
106105anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y D y )  =  ( x D x ) )
107106eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( y D y )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
108107, 91vtoclga 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x D x )  =  0 )
109104, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D x )  =  0 )
110103, 109eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  0 )
111110oveq1d 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( 0  +  ( z D y ) ) )
11299recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  CC )
113112addid2d 9582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( 0  +  ( z D y ) )  =  ( z D y ) )
114111, 113eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
115100, 102, 1143brtr3d 4333 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
116 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  z  =  y )
117116oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  =  ( y D x ) )
118 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  e.  RR )
119117, 118eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  RR )
120119leidd 9918 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  <_  ( y D x ) )
121 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  x  e.  RR* )
122 simpll2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  y  e.  RR* )
123 oveq2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
y D x )  =  ( y D y ) )
12493, 123eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
125124adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
126 eqeq2 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
127 eqeq2 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e x )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
128 xrleloe 11133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
130 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
131130neneqd 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  x  =  y )
132 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  =  y  \/  x  <  y ) ) )
133 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  y  \/  x  <  y )  <-> 
( x  <  y  \/  x  =  y
) )
134132, 133syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
135131, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
136 xrltnle 9455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
138129, 135, 1373bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <_  x ) )
139138con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <_  y ) )
140139biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  -.  x  <_  y )
141 iffalse 3811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  ( x +e  -e y ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y ) )
143138biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  x  <_  y )
144 iftrue 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e x ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  ( y +e  -e x ) )
146126, 127, 142, 145ifbothda 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  if (
x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
14729adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
14813xrsdsval 17869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
149148ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
150149adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) ) )
151146, 147, 1503eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
152125, 151pm2.61dane 2701 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
153121, 122, 152syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
154116oveq1d 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  ( y D y ) )
155122, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D y )  =  0 )
156154, 155eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  0 )
157117, 156oveq12d 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( y D x )  +  0 ) )
158119recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  CC )
159158addid1d 9581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( y D x )  +  0 )  =  ( y D x ) )
160157, 159eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( y D x ) )
161120, 153, 1603brtr4d 4334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
162 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  e.  RR )
163 simpll3 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR* )
164 simpll1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR* )
165 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  x )
16613xrsdsreclb 17872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  =/=  x )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
167163, 164, 165, 166syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
168162, 167mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
169168simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR )
170169recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  CC )
171 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  e.  RR )
172 simpll2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR* )
173 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  y )
17413xrsdsreclb 17872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  =/=  y )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
175163, 172, 173, 174syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
176171, 175mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
177176simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR )
178177recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  CC )
179168simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR )
180179recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  CC )
181170, 178, 180abs3difd 12958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  z ) )  +  ( abs `  ( z  -  y
) ) ) )
18213xrsdsreval 17870 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
183169, 177, 182syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
18413xrsdsreval 17870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z D x )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
185168, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
z  -  x ) ) )
186180, 170abssubd 12951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( z  -  x ) )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
187185, 186eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
18813xrsdsreval 17870 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z D y )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
189176, 188syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  =  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
190187, 189oveq12d 6121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  +  ( abs `  ( z  -  y ) ) ) )
191181, 183, 1903brtr4d 4334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
192115, 161, 191pm2.61da2ne 2702 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1931923adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1942, 17, 31, 98, 193isxmet2d 19914 . 2  |-  ( T. 
->  D  e.  ( *Met `  RR* )
)
195194trud 1378 1  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984   ifcif 3803   class class class wbr 4304    X. cxp 4850   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607    -ecxne 11098   +ecxad 11099   abscabs 12735   distcds 14259   RR*scxrs 14450   *Metcxmt 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-icc 11319  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-xrs 14452  df-xmet 17822
This theorem is referenced by:  xrsdsre  20399  xrsblre  20400  xrsmopn  20401  metdcnlem  20425  xmetdcn2  20426  xmetdcn  20427  metdscn  20444  metdscn2  20445
  Copyright terms: Public domain W3C validator