MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsxmet Structured version   Unicode version

Theorem xrsxmet 21065
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 11216 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  e.  _V )
3 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
4 xnegcl 11411 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e
x  e.  RR* )
5 xaddcl 11435 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  ->  ( y +e  -e x )  e. 
RR* )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y +e  -e x )  e. 
RR* )
7 xnegcl 11411 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  -e
y  e.  RR* )
8 xaddcl 11435 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -e
y  e.  RR* )  ->  ( x +e  -e y )  e. 
RR* )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e  -e y )  e. 
RR* )
10 ifcl 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  ( x +e  -e y )  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
116, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
1211rgen2a 2891 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*
13 xrsxmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
1413xrsds 18245 . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
1514fmpt2 6851 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*  <->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1612, 15mpbi 208 . . . 4  |-  D :
( RR*  X.  RR* ) --> RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
18 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( y +e  -e x )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
19 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( x +e  -e y )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) ) ) )
20 xsubge0 11452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2120ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y +e  -e x )  <->  x  <_  y ) )
2221biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  0  <_  (
y +e  -e x ) )
23 xrletri 11356 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
2423orcanai 911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  y  <_  x )
25 xsubge0 11452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( x +e  -e y )  <->  y  <_  x
) )
2625biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  y  <_  x )  ->  0  <_  (
x +e  -e y ) )
2724, 26syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  0  <_  ( x +e  -e y ) )
2818, 19, 22, 27ifbothda 3974 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
2913xrsdsval 18246 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
3028, 29breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  ( x D y ) )
3130adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
3230biantrud 507 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  ( (
x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3329, 11eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
34 0xr 9639 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
35 xrletri3 11357 . . . . . 6  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3633, 34, 35sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
37 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  =  0 )
39 0re 9595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
4038, 39syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  e.  RR )
4113xrsdsreclb 18249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
42413expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( (
x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
4544simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  RR )
4645recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  CC )
4744simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  RR )
4847recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  CC )
49 rexsub 11431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  ( x  -  y
) )
5129eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
5251biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 )
54 xneg11 11413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (  -e
( y +e  -e x )  = 
-e 0  <->  (
y +e  -e x )  =  0 ) )
556, 34, 54sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( y +e  -e x )  =  0 ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
x  e.  RR* )
58 xnegdi 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  -> 
-e ( y +e  -e
x )  =  ( 
-e y +e  -e  -e x ) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  (  -e y +e  -e  -e x ) )
60 xnegneg 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e  -e x  =  x )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e  -e x  =  x )
6261oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e  -e  -e x )  =  (  -e y +e
x ) )
637adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
y  e.  RR* )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
65 xaddcom 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-e y  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  -e
y +e x )  =  ( x +e  -e
y ) )
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y +e
x )  =  ( x +e  -e y ) )
6759, 62, 663eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e
( y +e  -e x )  =  ( x +e  -e y ) )
68 xneg0 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e 0  =  0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -e 0  =  0 )
7067, 69eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e ( y +e  -e x )  =  -e 0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7155, 70bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
73 biidd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
74 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( y +e  -e
x )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7574bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
76 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( x +e  -e
y )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0 ) )
7776bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  ->  ( ( ( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) ) )
7875, 77ifboth 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y +e  -e x )  =  0  <->  (
x +e  -e y )  =  0 )  /\  (
( x +e  -e y )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
7972, 73, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  0  <->  ( x +e  -e y )  =  0 ) )
8053, 79mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x +e  -e y )  =  0 )
8150, 80eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  -  y )  =  0 )
8246, 48, 81subeq0d 9937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =  y )
8337, 82pm2.61dane 2785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  x  =  y )
8483ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  ->  x  =  y )
)
8513xrsdsval 18246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  if ( y  <_  y ,  ( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
8685anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  if ( y  <_ 
y ,  ( y +e  -e
y ) ,  ( y +e  -e y ) ) )
87 xrleid 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
88 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  y  ->  if ( y  <_  y ,  ( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
y ) )  =  ( y +e  -e y ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  if ( y  <_  y , 
( y +e  -e y ) ,  ( y +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e y ) )
90 xnegid 11434 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y +e  -e
y )  =  0 )
9186, 89, 903eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  0 )
9291adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  0 )
93 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D y ) )
9493eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
y D y )  =  0 ) )
9592, 94syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  -> 
( x D y )  =  0 ) )
9684, 95impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
9732, 36, 963bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
9897adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
99 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  RR )
10099leidd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  <_  ( z D y ) )
101 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  z  =  x )
102101oveq1d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( x D y ) )
103101oveq1d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  ( x D x ) )
104 simpll1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  x  e.  RR* )
105 oveq12 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  x  /\  y  =  x )  ->  ( y D y )  =  ( x D x ) )
106105anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y D y )  =  ( x D x ) )
107106eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( y D y )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
108107, 91vtoclga 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x D x )  =  0 )
109104, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D x )  =  0 )
110103, 109eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  0 )
111110oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( 0  +  ( z D y ) ) )
11299recnd 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  CC )
113112addid2d 9779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( 0  +  ( z D y ) )  =  ( z D y ) )
114111, 113eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
115100, 102, 1143brtr3d 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
116 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  z  =  y )
117116oveq1d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  =  ( y D x ) )
118 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  e.  RR )
119117, 118eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  RR )
120119leidd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  <_  ( y D x ) )
121 simpll1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  x  e.  RR* )
122 simpll2 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  y  e.  RR* )
123 oveq2 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
y D x )  =  ( y D y ) )
12493, 123eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
125124adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
126 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x +e  -e y )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
127 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y +e  -e x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e x )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) ) )
128 xrleloe 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
130 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
131130neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  x  =  y )
132 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  =  y  \/  x  <  y ) ) )
133 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  y  \/  x  <  y )  <-> 
( x  <  y  \/  x  =  y
) )
134132, 133syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
135131, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
136 xrltnle 9652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
138129, 135, 1373bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <_  x ) )
139138con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <_  y ) )
140139biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  -.  x  <_  y )
141 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  ( x +e  -e y ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( x +e  -e y ) )
143138biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  x  <_  y )
144 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  ( y +e  -e x ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e
y ) )  =  ( y +e  -e x ) )
146126, 127, 142, 145ifbothda 3974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  if (
x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
14729adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
14813xrsdsval 18246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
149148ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e x ) ) )
150149adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x +e  -e y ) ,  ( y +e  -e
x ) ) )
151146, 147, 1503eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
152125, 151pm2.61dane 2785 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
153121, 122, 152syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
154116oveq1d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  ( y D y ) )
155122, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D y )  =  0 )
156154, 155eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  0 )
157117, 156oveq12d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( y D x )  +  0 ) )
158119recnd 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  CC )
159158addid1d 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( y D x )  +  0 )  =  ( y D x ) )
160157, 159eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( y D x ) )
161120, 153, 1603brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
162 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  e.  RR )
163 simpll3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR* )
164 simpll1 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR* )
165 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  x )
16613xrsdsreclb 18249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  =/=  x )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
167163, 164, 165, 166syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
168162, 167mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
169168simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR )
170169recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  CC )
171 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  e.  RR )
172 simpll2 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR* )
173 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  y )
17413xrsdsreclb 18249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  =/=  y )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
175163, 172, 173, 174syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
176171, 175mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
177176simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR )
178177recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  CC )
179168simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR )
180179recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  CC )
181170, 178, 180abs3difd 13253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  z ) )  +  ( abs `  ( z  -  y
) ) ) )
18213xrsdsreval 18247 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
183169, 177, 182syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
18413xrsdsreval 18247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z D x )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
185168, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
z  -  x ) ) )
186180, 170abssubd 13246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( z  -  x ) )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
187185, 186eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
18813xrsdsreval 18247 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z D y )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
189176, 188syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  =  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
190187, 189oveq12d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  +  ( abs `  ( z  -  y ) ) ) )
191181, 183, 1903brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
192115, 161, 191pm2.61da2ne 2786 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1931923adant1 1014 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1942, 17, 31, 98, 193isxmet2d 20581 . 2  |-  ( T. 
->  D  e.  ( *Met `  RR* )
)
195194trud 1388 1  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   ifcif 3939   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491    + caddc 9494   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    -ecxne 11314   +ecxad 11315   abscabs 13029   distcds 14563   RR*scxrs 14754   *Metcxmt 18190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-icc 11535  df-fz 11672  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-xrs 14756  df-xmet 18199
This theorem is referenced by:  xrsdsre  21066  xrsblre  21067  xrsmopn  21068  metdcnlem  21092  xmetdcn2  21093  xmetdcn  21094  metdscn  21111  metdscn2  21112
  Copyright terms: Public domain W3C validator