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Theorem xrsupsslem 11373
Description: Lemma for xrsupss 11375. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3016 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y ) )
2 rexeq 3017 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
32imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
43ralbidv 2841 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
51, 4anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
65rexbidv 2855 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) ) )
7 sup3 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 rexr 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
109reximi2 2921 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 elxr 11200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
14 pnfnlt 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -. +oo  <  x )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -. +oo 
<  x )
16 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  <-> +oo  <  x
) )
1716notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -.  y  <  x )
2019pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = +oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
23 ssel 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
24 mnflt 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2523, 24syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  -> -oo  <  z ) )
2625ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\ -oo 
<  z ) ) )
2726eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) ) )
28 n0 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
29 df-rex 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A -oo  <  z  <->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) )
3027, 28, 293imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) )
34 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  x  <-> -oo  <  x
) )
35 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  z  <-> -oo  <  z
) )
3635rexbidv 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3734, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) ) )
3933, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4213, 22, 413jaod 1283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4312, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4544ralimdv2 2898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4645anim2d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4746reximdva 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
48473adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
50493expa 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
51 ralnex 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
52 rexnal 2847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
53 ssel2 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
5554ord 377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y
) )
5653, 55sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5756an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5857reximdva 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
5952, 58syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059ralimdva 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6160imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )
6251, 61sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
)
63 breq2 4397 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  z ) )
6463cbvrexv 3047 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. z  e.  A  x  <_  z )
6564ralbii 2834 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )
6662, 65sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z
)
67 pnfxr 11196 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
68 ssel 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
69 rexr 9533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
70 pnfnlt 11212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -. +oo 
<  y )
7268, 71syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo 
<  y ) )
7372ralrimiv 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
7473adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
75 peano2re 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
76 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7776rexbidv 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7877rspcva 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z )
7978adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8079ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8175, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
82 ssel2 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
83 ltp1 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8575ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
86 ltletr 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
87863expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  z )  -> 
y  <  z )
)
8885, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
8984, 88mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9089ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9182, 90sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  y  <  z ) )
9291an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9392reximdva 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9493adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
9695exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
9796a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
9897com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
99 xrltnr 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  -. +oo  < +oo )
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. +oo  < +oo
101 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  <-> +oo  < +oo ) )
102100, 101mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  = +oo  ->  -.  y  < +oo )
103102pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = +oo  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
106 0re 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
107 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  z  <->  0  <_  z ) )
108107rexbidv 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  0  <_  z ) )
109108rspcva 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  0  <_  z )
110106, 109mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  E. z  e.  A 
0  <_  z )
11182, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
112111a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
0  <_  z  -> -oo 
<  z ) )
113112reximdva 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  0  <_  z  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
114110, 113mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
115114, 36syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
116115a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117116expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11898, 105, 1173jaoi 1282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11912, 118sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
120119com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
122121ralrimiv 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
12374, 122jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
124 breq1 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. +oo  <  y ) )
126125ralbidv 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y ) )
127 breq2 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < +oo ) )
128127imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
129128ralbidv 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
130126, 129anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
131130rspcev 3172 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13267, 123, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13366, 132syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
134133adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13550, 134pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
136 mnfxr 11198 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
137 ral0 3885 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y
138 nltmnf 11213 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
139138pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
140139rgen 2892 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )
141137, 140pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )
142 breq1 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
143142notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. -oo  <  y ) )
144143ralbidv 2841 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y ) )
145 breq2 4397 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < -oo ) )
146145imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )  <->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
147146ralbidv 2841 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  < 
z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
148144, 147anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  = -oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
149148rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
150136, 141, 149mp2an 672 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
1526, 135, 151pm2.61ne 2763 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
153152adantl 466 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
154 ssel 3451 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
155154, 70syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo  <  y ) )
156155ralrimiv 2823 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
157 breq2 4397 . . . . . . 7  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
158157rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  A  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
159158ex 434 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
160159ralrimivw 2826 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
161156, 160anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
16267, 161, 131sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
163153, 162jaodan 783 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   (/)c0 3738   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389   +oocpnf 9519   -oocmnf 9520   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702
This theorem is referenced by:  xrsupss  11375
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