Theorem xrsupsslem 7285

Description: Lemma for xrsupss 7287.

Assertion

Ref	Expression
xrsupsslem	|- ((A C_ RR* /\ (A C_ RR \/ +oo e. A)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem xrsupsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2266	. . . . . 6 |- (A = (/) -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. (/) -. x < y))
2		rexeq 2267	. . . . . . . 8 |- (A = (/) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. (/) y < z))
3	2	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y < x -> E.z e. (/) y < z)))
4	3	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (A = (/) -> (A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z)))
5	1, 4	anbi12d 690	. . . . 5 |- (A = (/) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z))))
6	5	rexbidv 2124	. . . 4 |- (A = (/) -> (E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR* (A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z))))
7		sup3 7261	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
8		rexr 6668	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> x e. RR*)
9	8	anim1i 361	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
10	9	reximi2 2197	. . . . . . . 8 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
11	7, 10	syl 12	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
12		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
13		pnfnlt 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. RR* -> -. +oo < x)
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> -. +oo < x)
15		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = +oo -> (y < x <-> +oo < x))
16	15	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = +oo -> (-. y < x <-> -. +oo < x))
17	16	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> (-. y < x <-> -. +oo < x))
18	14, 17	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> -. y < x)
19	18	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z))
20	19	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR* -> (y = +oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
21	20	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y = +oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
22		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A C_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
23		mnflt 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z e. RR -> -oo < z)
24	22, 23	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (A C_ RR -> (z e. A -> -oo < z))
25	24	ancld 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (A C_ RR -> (z e. A -> (z e. A /\ -oo < z)))
26	25	eximdv 1669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A C_ RR -> (E.z z e. A -> E.z(z e. A /\ -oo < z)))
27		n0 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
28		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (E.z e. A -oo < z <-> E.z(z e. A /\ -oo < z))
29	26, 27, 28	3imtr4g 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) -> E.z e. A -oo < z))
30	29	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> E.z e. A -oo < z)
31	30	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z))
32	31	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z))
33		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = -oo -> (y < x <-> -oo < x))
34		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = -oo -> (y < z <-> -oo < z))
35	34	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = -oo -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A -oo < z))
36	33, 35	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = -oo -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z)))
37	36	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z)))
38	32, 37	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z))
39	38	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> (y = -oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
40	39	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y = -oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
41	12, 21, 40	3jaod 1161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> ((y e. RR \/ y = +oo \/ y = -oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
42		elxr 6706	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. RR* <-> (y e. RR \/ y = +oo \/ y = -oo))
43	41, 42	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
44	43	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> ((y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z)) -> (y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z))))
45	44	ralimdv2 2173	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) -> A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
46	45	anim2d 620	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))))
47	46	reximdva 2203	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))))
48	47	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> (E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))))
49	11, 48	mpd 29	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
50	49	3expa 1067	. . . . 5 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
51		letric 6802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y <_ x \/ x <_ y))
52	51	ord 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (-. y <_ x -> x <_ y))
53		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A C_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
54	52, 53	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A C_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (-. y <_ x -> x <_ y))
55	54	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. y <_ x -> x <_ y))
56	55	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (E.y e. A -. y <_ x -> E.y e. A x <_ y))
57		rexnal 2114	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y e. A -. y <_ x <-> -. A.y e. A y <_ x)
58	56, 57	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (-. A.y e. A y <_ x -> E.y e. A x <_ y))
59	58	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> (A.x e. RR -. A.y e. A y <_ x -> A.x e. RR E.y e. A x <_ y))
60	59	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR -. A.y e. A y <_ x) -> A.x e. RR E.y e. A x <_ y)
61		ralnex 2113	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. RR -. A.y e. A y <_ x <-> -. E.x e. RR A.y e. A y <_ x)
62	60, 61	sylan2br 502	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ -. E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> A.x e. RR E.y e. A x <_ y)
63		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (x <_ y <-> x <_ z))
64	63	cbvrexv 2281	. . . . . . . . 9 |- (E.y e. A x <_ y <-> E.z e. A x <_ z)
65	64	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.x e. RR E.y e. A x <_ y <-> A.x e. RR E.z e. A x <_ z)
66	62, 65	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ -. E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> A.x e. RR E.z e. A x <_ z)
67		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = +oo -> (x < y <-> +oo < y))
68	67	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (x = +oo -> (-. x < y <-> -. +oo < y))
69	68	ralbidv 2123	. . . . . . . . . 10 |- (x = +oo -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. A -. +oo < y))
70		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = +oo -> (y < x <-> y < +oo))
71	70	imbi1d 675	. . . . . . . . . . 11 |- (x = +oo -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
72	71	ralbidv 2123	. . . . . . . . . 10 |- (x = +oo -> (A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
73	69, 72	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (x = +oo -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
74	73	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (( +oo e. RR* /\ (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z))) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
75		pnfxr 6660	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
76		ssel 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
77		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. RR -> y e. RR*)
78		pnfnlt 6721	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. RR* -> -. +oo < y)
79	77, 78	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR -> -. +oo < y)
80	76, 79	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> (y e. A -> -. +oo < y))
81	80	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> A.y e. A -. +oo < y)
82	81	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> A.y e. A -. +oo < y)
83		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x = (y + 1) -> (x <_ z <-> (y + 1) <_ z))
84	83	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = (y + 1) -> (E.z e. A x <_ z <-> E.z e. A (y + 1) <_ z))
85	84	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((y + 1) e. RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> E.z e. A (y + 1) <_ z)
86	85	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y + 1) e. RR /\ (A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR)) -> E.z e. A (y + 1) <_ z)
87	86	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) /\ (y + 1) e. RR) -> E.z e. A (y + 1) <_ z)
88		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. RR -> (y + 1) e. RR)
89	87, 88	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) /\ y e. RR) -> E.z e. A (y + 1) <_ z)
90		ltp1 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. RR -> y < (y + 1))
91	90	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> y < (y + 1))
92		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. RR /\ (y + 1) e. RR /\ z e. RR) -> ((y < (y + 1) /\ (y + 1) <_ z) -> y < z))
93	92	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((y e. RR /\ (y + 1) e. RR) /\ z e. RR) -> ((y < (y + 1) /\ (y + 1) <_ z) -> y < z))
94	88	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. RR -> (y e. RR /\ (y + 1) e. RR))
95	93, 94	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> ((y < (y + 1) /\ (y + 1) <_ z) -> y < z))
96	91, 95	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> ((y + 1) <_ z -> y < z))
97	96	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> ((y + 1) <_ z -> y < z))
98		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
99	97, 98	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A C_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> ((y + 1) <_ z -> y < z))
100	99	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A C_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> ((y + 1) <_ z -> y < z))
101	100	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> (E.z e. A (y + 1) <_ z -> E.z e. A y < z))
102	101	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) /\ y e. RR) -> (E.z e. A (y + 1) <_ z -> E.z e. A y < z))
103	89, 102	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) /\ y e. RR) -> E.z e. A y < z)
104	103	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y e. RR -> E.z e. A y < z)))
105	104	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> (y e. RR -> E.z e. A y < z))))
106	105	com4r 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. RR -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
107		xrltnr 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo)
108	75, 107	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. +oo < +oo
109		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = +oo -> (y < +oo <-> +oo < +oo))
110	108, 109	mtbiri 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = +oo -> -. y < +oo)
111	110	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = +oo -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))
112	111	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = +oo -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
113	112	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = +oo -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
114	98, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> -oo < z)
115	114	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> (0 <_ z -> -oo < z))
116	115	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A C_ RR -> (E.z e. A 0 <_ z -> E.z e. A -oo < z))
117	116	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((E.z e. A 0 <_ z /\ A C_ RR) -> E.z e. A -oo < z)
118		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
119		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = 0 -> (x <_ z <-> 0 <_ z))
120	119	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x = 0 -> (E.z e. A x <_ z <-> E.z e. A 0 <_ z))
121	120	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((0 e. RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> E.z e. A 0 <_ z)
122	118, 121	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> E.z e. A 0 <_ z)
123	117, 122	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) -> E.z e. A -oo < z)
124	35, 123	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -oo -> ((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) -> E.z e. A y < z))
125	124	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = -oo -> ((A.x e. RR E.z e. A x <_ z /\ A C_ RR) -> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
126	125	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = -oo -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
127	106, 113, 126	3jaoi 1160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR \/ y = +oo \/ y = -oo) -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
128	42, 127	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR* -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (A C_ RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
129	128	com13 37	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> (A.x e. RR E.z e. A x <_ z -> (y e. RR* -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))))
130	129	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> (y e. RR* -> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
131	130	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z))
132	82, 131	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
133	74, 75, 132	sylancr 526	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A.x e. RR E.z e. A x <_ z) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
134	66, 133	syldan 516	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ -. E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
135	134	adantlr 429	. . . . 5 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ -. E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
136	50, 135	pm2.61dan 535	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
137		mnfxr 6662	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
138		ral0 2974	. . . . . . 7 |- A.y e. (/) -. -oo < y
139		nltmnf 6722	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR* -> -. y < -oo)
140	139	pm2.21d 94	. . . . . . . 8 |- (y e. RR* -> (y < -oo -> E.z e. (/) y < z))
141	140	rgen 2159	. . . . . . 7 |- A.y e. RR* (y < -oo -> E.z e. (/) y < z)
142	138, 141	pm3.2i 307	. . . . . 6 |- (A.y e. (/) -. -oo < y /\ A.y e. RR* (y < -oo -> E.z e. (/) y < z))
143		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (x = -oo -> (x < y <-> -oo < y))
144	143	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (x = -oo -> (-. x < y <-> -. -oo < y))
145	144	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (x = -oo -> (A.y e. (/) -. x < y <-> A.y e. (/) -. -oo < y))
146		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (x = -oo -> (y < x <-> y < -oo))
147	146	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (x = -oo -> ((y < x -> E.z e. (/) y < z) <-> (y < -oo -> E.z e. (/) y < z)))
148	147	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (x = -oo -> (A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z) <-> A.y e. RR* (y < -oo -> E.z e. (/) y < z)))
149	145, 148	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = -oo -> ((A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z)) <-> (A.y e. (/) -. -oo < y /\ A.y e. RR* (y < -oo -> E.z e. (/) y < z))))
150	149	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (( -oo e. RR* /\ (A.y e. (/) -. -oo < y /\ A.y e. RR* (y < -oo -> E.z e. (/) y < z))) -> E.x e. RR* (A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z)))
151	137, 142, 150	mp2an 761	. . . . 5 |- E.x e. RR* (A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z))
152	151	a1i 8	. . . 4 |- (A C_ RR -> E.x e. RR* (A.y e. (/) -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. (/) y < z)))
153	6, 136, 152	pm2.61ne 2087	. . 3 |- (A C_ RR -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
154	153	adantl 424	. 2 |- ((A C_ RR* /\ A C_ RR) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
155		ssel 2615	. . . . . 6 |- (A C_ RR* -> (y e. A -> y e. RR*))
156	155, 78	syl6 25	. . . . 5 |- (A C_ RR* -> (y e. A -> -. +oo < y))
157	156	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (A C_ RR* -> A.y e. A -. +oo < y)
158		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (z = +oo -> (y < z <-> y < +oo))
159	158	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- (( +oo e. A /\ y < +oo) -> E.z e. A y < z)
160	159	ex 402	. . . . . 6 |- ( +oo e. A -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))
161	160	a1d 15	. . . . 5 |- ( +oo e. A -> (y e. RR* -> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
162	161	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- ( +oo e. A -> A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z))
163	157, 162	anim12i 360	. . 3 |- ((A C_ RR* /\ +oo e. A) -> (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR* (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
164	74, 75, 163	sylancr 526	. 2 |- ((A C_ RR* /\ +oo e. A) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))
165	154, 164	jaodan 471	1 |- ((A C_ RR* /\ (A C_ RR \/ +oo e. A)) -> E.x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  xrsupss 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain