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Theorem xrsupsslem 11600
Description: Lemma for xrsupss 11602. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3022 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y ) )
2 rexeq 3023 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
32imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
43ralbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
51, 4anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
65rexbidv 2936 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) ) )
7 sup3 10574 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 rexr 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
109reximi2 2889 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 elxr 11424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
13 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
14 pnfnlt 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -. +oo  <  x )
1514adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -. +oo 
<  x )
16 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  <-> +oo  <  x
) )
1716notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1915, 18mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -.  y  <  x )
2019pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = +oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
23 ssel 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
24 mnflt 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2523, 24syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  -> -oo  <  z ) )
2625ancld 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\ -oo 
<  z ) ) )
2726eximdv 1758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) ) )
28 n0 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
29 df-rex 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A -oo  <  z  <->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) )
3027, 28, 293imtr4g 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3130imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
3231a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3332ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) )
34 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  x  <-> -oo  <  x
) )
35 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  z  <-> -oo  <  z
) )
3635rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3734, 36imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) ) )
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) ) )
3933, 38mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
4039ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4213, 22, 413jaod 1328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4312, 42syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4443ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4544ralimdv2 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4645anim2d 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4746reximdva 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
48473adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
50493expa 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
51 ralnex 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
52 rexnal 2870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
53 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
5554ord 378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y
) )
5653, 55sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5756an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5857reximdva 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
5952, 58syl5bir 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059ralimdva 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6160imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )
6251, 61sylan2br 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
)
63 breq2 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  z ) )
6463cbvrexv 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. z  e.  A  x  <_  z )
6564ralbii 2853 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )
6662, 65sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z
)
67 pnfxr 11420 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
68 ssel 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
69 rexr 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
70 pnfnlt 11438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -. +oo 
<  y )
7268, 71syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo 
<  y ) )
7372ralrimiv 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
7473adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
75 peano2re 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
76 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7776rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7877rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z )
7978adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8079ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8175, 80sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
82 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
83 ltp1 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8483adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8575ancli 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
86 ltletr 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
87863expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  z )  -> 
y  <  z )
)
8885, 87sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
8984, 88mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9089ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9182, 90sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  y  <  z ) )
9291an32s 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9392reximdva 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9493adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
9695exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
9796a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
9897com4r 89 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
99 xrltnr 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  -. +oo  < +oo )
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -. +oo  < +oo
101 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  <-> +oo  < +oo ) )
102100, 101mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = +oo  ->  -.  y  < +oo )
103102pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
1041032a1d 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
105 0re 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
106 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  z  <->  0  <_  z ) )
107106rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  0  <_  z ) )
108107rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  0  <_  z )
109105, 108mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  E. z  e.  A 
0  <_  z )
11082, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
111110a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
0  <_  z  -> -oo 
<  z ) )
112111reximdva 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  0  <_  z  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
113109, 112mpan9 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
114113, 36syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
115114a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
116115expd 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11798, 104, 1163jaoi 1327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11812, 117sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
119118com13 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
120119imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
121120ralrimiv 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
12274, 121jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
123 breq1 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
124123notbid 295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. +oo  <  y ) )
125124ralbidv 2861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y ) )
126 breq2 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < +oo ) )
127126imbi1d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
128127ralbidv 2861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
129125, 128anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
130129rspcev 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13167, 122, 130sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13266, 131syldan 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
133132adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13450, 133pm2.61dan 798 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
135 mnfxr 11422 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
136 ral0 3904 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y
137 nltmnf 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
138137pm2.21d 109 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
139138rgen 2781 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )
140136, 139pm3.2i 456 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )
141 breq1 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
142141notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. -oo  <  y ) )
143142ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y ) )
144 breq2 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < -oo ) )
145144imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )  <->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
146145ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  < 
z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
147143, 146anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( x  = -oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
148147rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
149135, 140, 148mp2an 676 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
150149a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
1516, 134, 150pm2.61ne 2735 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
152151adantl 467 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
153 ssel 3458 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
154153, 70syl6 34 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo  <  y ) )
155154ralrimiv 2834 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
156 breq2 4427 . . . . . . 7  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
157156rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  A  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
158157ex 435 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
159158ralrimivw 2837 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
160155, 159anim12i 568 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
16167, 160, 130sylancr 667 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
162152, 161jaodan 792 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423  (class class class)co 6306   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550   +oocpnf 9680   -oocmnf 9681   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871
This theorem is referenced by:  xrsupss  11602
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