MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupsslem Structured version   Unicode version

Theorem xrsupsslem 11261
Description: Lemma for xrsupss 11263. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 2912 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y ) )
2 rexeq 2913 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
32imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
43ralbidv 2730 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
51, 4anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
65rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) ) )
7 sup3 10279 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 rexr 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
109reximi2 2817 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 elxr 11088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
14 pnfnlt 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -. +oo  <  x )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -. +oo 
<  x )
16 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  <-> +oo  <  x
) )
1716notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  y  <  x  <->  -. +oo  <  x ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  -.  y  <  x )
2019pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = +oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = +oo  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = +oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
23 ssel 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
24 mnflt 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2523, 24syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  -> -oo  <  z ) )
2625ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\ -oo 
<  z ) ) )
2726eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) ) )
28 n0 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
29 df-rex 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A -oo  <  z  <->  E. z ( z  e.  A  /\ -oo  <  z ) )
3027, 28, 293imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) )
34 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  x  <-> -oo  <  x
) )
35 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = -oo  ->  (
y  <  z  <-> -oo  <  z
) )
3635rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
3734, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( -oo  <  x  ->  E. z  e.  A -oo  <  z ) ) )
3933, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  = -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4213, 22, 413jaod 1282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4312, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4544ralimdv2 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4645anim2d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4746reximdva 2823 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
48473adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
50493expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
51 ralnex 2720 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
52 rexnal 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
53 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
5554ord 377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y
) )
5653, 55sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5756an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5857reximdva 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
5952, 58syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059ralimdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6160imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )
6251, 61sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
)
63 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  z ) )
6463cbvrexv 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. z  e.  A  x  <_  z )
6564ralbii 2734 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )
6662, 65sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z
)
67 pnfxr 11084 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
68 ssel 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
69 rexr 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
70 pnfnlt 11100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -. +oo 
<  y )
7268, 71syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo 
<  y ) )
7372ralrimiv 2793 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
7473adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
75 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
76 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7776rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7877rspcva 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z )
7978adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8079ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8175, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
82 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
83 ltp1 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8575ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
86 ltletr 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
87863expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  z )  -> 
y  <  z )
)
8885, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
8984, 88mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9089ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9182, 90sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  y  <  z ) )
9291an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9392reximdva 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9493adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
9695exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
9796a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
9897com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
99 xrltnr 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  -. +oo  < +oo )
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. +oo  < +oo
101 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  <-> +oo  < +oo ) )
102100, 101mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  = +oo  ->  -.  y  < +oo )
103102pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = +oo  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
106 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
107 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  z  <->  0  <_  z ) )
108107rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  0  <_  z ) )
109108rspcva 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  0  <_  z )
110106, 109mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  E. z  e.  A 
0  <_  z )
11182, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
112111a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
0  <_  z  -> -oo 
<  z ) )
113112reximdva 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  0  <_  z  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
) )
114110, 113mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A -oo  <  z
)
115114, 36syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
116115a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117116expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11898, 105, 1173jaoi 1281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11912, 118sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
120119com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
122121ralrimiv 2793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
12374, 122jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
124 breq1 4290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. +oo  <  y ) )
126125ralbidv 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y ) )
127 breq2 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < +oo ) )
128127imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = +oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
129128ralbidv 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
130126, 129anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -. +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
131130rspcev 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13267, 123, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13366, 132syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
134133adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13550, 134pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
136 mnfxr 11086 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
137 ral0 3779 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y
138 nltmnf 11101 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
139138pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
140139rgen 2776 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )
141137, 140pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )
142 breq1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
143142notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -. -oo  <  y ) )
144143ralbidv 2730 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y ) )
145 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < -oo ) )
146145imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )  <->  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
147146ralbidv 2730 . . . . . . . 8  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  < 
z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
148144, 147anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  = -oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
149148rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
150136, 141, 149mp2an 672 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
1526, 135, 151pm2.61ne 2681 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
153152adantl 466 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
154 ssel 3345 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
155154, 70syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo  <  y ) )
156155ralrimiv 2793 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
157 breq2 4291 . . . . . . 7  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
158157rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  A  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
159158ex 434 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
160159ralrimivw 2795 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
161156, 160anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
16267, 161, 131sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
163153, 162jaodan 783 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  xrsupss  11263
  Copyright terms: Public domain W3C validator