Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsupssd Structured version   Unicode version

Theorem xrsupssd 28021
Description: Inequality deduction for supremum of an extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsupssd.1  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
xrsupssd.2  |-  ( ph  ->  C  C_  RR* )
Assertion
Ref Expression
xrsupssd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem xrsupssd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11400 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupssd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4 xrsupssd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  RR* )
53, 4sstrd 3452 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
6 xrsupss 11553 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  B  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  B  y  <  z ) ) )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  B  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  B  y  <  z ) ) )
8 xrsupss 11553 . . . 4  |-  ( C 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  C  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  C  y  <  z ) ) )
94, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  C  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  C  y  <  z ) ) )
102, 3, 4, 7, 9supssd 27972 . 2  |-  ( ph  ->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
112, 7supcl 7951 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
122, 9supcl 7951 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
13 xrlenlt 9682 . . 3  |-  ( ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( C ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
1510, 14mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    Or wor 4743   supcsup 7934   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator