Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsupssd Structured version   Unicode version

Theorem xrsupssd 26204
Description: Inequality deduction for supremum of an extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsupssd.1  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
xrsupssd.2  |-  ( ph  ->  C  C_  RR* )
Assertion
Ref Expression
xrsupssd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem xrsupssd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11230 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupssd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4 xrsupssd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  RR* )
53, 4sstrd 3475 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
6 xrsupss 11383 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  B  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  B  y  <  z ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  B  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  B  y  <  z ) ) )
8 xrsupss 11383 . . . 4  |-  ( C 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  C  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  C  y  <  z ) ) )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  C  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  C  y  <  z ) ) )
102, 3, 4, 7, 9supssd 26156 . 2  |-  ( ph  ->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
112, 7supcl 7820 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
122, 9supcl 7820 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
13 xrlenlt 9554 . . 3  |-  ( ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( C ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( C ,  RR* ,  <  )  <  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
1510, 14mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3437   class class class wbr 4401    Or wor 4749   supcsup 7802   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator