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Theorem xrsupss 11583
Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupss
StepHypRef Expression
1 xrsupsslem 11581 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssdifss 3593 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { -oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9692 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
4 df-3or 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
5 neldifsn 4121 . . . . . . . 8  |-  -. -oo  e.  ( A  \  { -oo } )
65biorfi 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
74, 6bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( ( A  \  { -oo }
)  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
83, 7sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )
9 xrsupsslem 11581 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
108, 9mpdan 672 . . . 4  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
112, 10syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
12 xrsupexmnf 11579 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) ) )
13 snssi 4138 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  A  ->  { -oo } 
C_  A )
14 undif 3873 . . . . . . . 8  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A )
15 uncom 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo }
) )  =  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )
1615eqeq1i 2427 . . . . . . . 8  |-  ( ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  =  A )
1714, 16bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A )
18 raleq 3023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
19 rexeq 3024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2019imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2120ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2218, 21anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo }
)  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2317, 22sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( { -oo }  C_  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } ) y  <  z
) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2413, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2524rexbidv 2937 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2612, 25syl5ib 222 . . 3  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2711, 26mpan9 471 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
28 ssxr 9692 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
29 df-3or 983 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
3028, 29sylib 199 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
311, 27, 30mpjaodan 793 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    \ cdif 3430    u. cun 3431    C_ wss 3433   {csn 3993   class class class wbr 4417   RRcr 9527   +oocpnf 9661   -oocmnf 9662   RR*cxr 9663    < clt 9664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852
This theorem is referenced by:  supxrcl  11589  supxrun  11590  supxrunb1  11594  supxrunb2  11595  supxrub  11599  supxrlub  11600  xrsupssd  28177  xrsclat  28276  itg2addnclem  31697
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