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Theorem xrsupss 11623
Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupss
StepHypRef Expression
1 xrsupsslem 11621 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssdifss 3576 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { -oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9729 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
4 df-3or 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
5 neldifsn 4112 . . . . . . . 8  |-  -. -oo  e.  ( A  \  { -oo } )
65biorfi 413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
74, 6bitr4i 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( ( A  \  { -oo }
)  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
83, 7sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )
9 xrsupsslem 11621 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
108, 9mpdan 679 . . . 4  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
112, 10syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
12 xrsupexmnf 11619 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) ) )
13 snssi 4129 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  A  ->  { -oo } 
C_  A )
14 undif 3860 . . . . . . . 8  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A )
15 uncom 3590 . . . . . . . . 9  |-  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo }
) )  =  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )
1615eqeq1i 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  =  A )
1714, 16bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A )
18 raleq 2999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
19 rexeq 3000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2019imbi2d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2120ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2218, 21anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo }
)  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2317, 22sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( { -oo }  C_  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } ) y  <  z
) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2413, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2524rexbidv 2913 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2612, 25syl5ib 227 . . 3  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2711, 26mpan9 476 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
28 ssxr 9729 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
29 df-3or 992 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
3028, 29sylib 201 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
311, 27, 30mpjaodan 800 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    \/ w3o 990    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   {csn 3980   class class class wbr 4416   RRcr 9564   +oocpnf 9698   -oocmnf 9699   RR*cxr 9700    < clt 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889
This theorem is referenced by:  supxrcl  11629  supxrun  11630  supxrunb1  11634  supxrunb2  11635  supxrub  11639  supxrlub  11640  xrsupssd  28388  xrsclat  28491  itg2addnclem  32038
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