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Theorem xrsupss 11489
Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupss
StepHypRef Expression
1 xrsupsslem 11487 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssdifss 3628 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { -oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9643 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
4 df-3or 969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
5 neldifsn 4147 . . . . . . . 8  |-  -. -oo  e.  ( A  \  { -oo } )
65biorfi 407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
74, 6bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( ( A  \  { -oo }
)  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
83, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )
9 xrsupsslem 11487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
108, 9mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
112, 10syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
12 xrsupexmnf 11485 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) ) )
13 snssi 4164 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  A  ->  { -oo } 
C_  A )
14 undif 3900 . . . . . . . 8  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A )
15 uncom 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo }
) )  =  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )
1615eqeq1i 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  =  A )
1714, 16bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A )
18 raleq 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
19 rexeq 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo }
)  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2317, 22sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( { -oo }  C_  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } ) y  <  z
) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2413, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2524rexbidv 2966 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2612, 25syl5ib 219 . . 3  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2711, 26mpan9 469 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
28 ssxr 9643 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
29 df-3or 969 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
311, 27, 30mpjaodan 784 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 967    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3466    u. cun 3467    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440   RRcr 9480   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  supxrcl  11495  supxrun  11496  supxrunb1  11500  supxrunb2  11501  supxrub  11505  supxrlub  11506  xrsupssd  27097  xrsclat  27180  itg2addnclem  29494
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