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Theorem xrsupss 11509
Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupss |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
Distinct variable group:   x, y, z, A
Proof of Theorem xrsupss
StepHypRef Expression
1 xrsupsslem 11507 . 2 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A C_ RR \/ +oo e. A ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2 ssdifss 3620 . . . 4 |- ( A C_ RR* -> ( A \ { -oo } ) C_ RR* )
3 ssxr 9657 . . . . . 6 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
4 df-3or 975 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
5 neldifsn 4142 . . . . . . . 8 |- -. -oo e. ( A \ { -oo } )
65biorfi 407 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
74, 6bitr4i 252 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
83, 7sylib 196 . . . . 5 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
9 xrsupsslem 11507 . . . . 5 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* /\ ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
108, 9mpdan 668 . . . 4 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
112, 10syl 16 . . 3 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
12 xrsupexmnf 11505 . . . 4 |- ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) )
13 snssi 4159 . . . . . 6 |- ( -oo e. A -> { -oo } C_ A )
14 undif 3894 . . . . . . . 8 |- ( { -oo } C_ A <-> ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A )
15 uncom 3633 . . . . . . . . 9 |- ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } )
1615eqeq1i 2450 . . . . . . . 8 |- ( ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
1714, 16bitri 249 . . . . . . 7 |- ( { -oo } C_ A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
18 raleq 3040 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y <-> A. y e. A -. x < y ) )
19 rexeq 3041 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z <-> E. z e. A y < z ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2120ralbidv 2882 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
2317, 22sylbi 195 . . . . . 6 |- ( { -oo } C_ A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
2413, 23syl 16 . . . . 5 |- ( -oo e. A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
2524rexbidv 2954 . . . 4 |- ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
2612, 25syl5ib 219 . . 3 |- ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
2711, 26mpan9 469 . 2 |- ( ( A C_ RR* /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
28 ssxr 9657 . . 3 |- ( A C_ RR* -> ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) )
29 df-3or 975 . . 3 |- ( ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
3028, 29sylib 196 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
311, 27, 30mpjaodan 786 1 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 973   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   \ cdif 3458   u. cun 3459   C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   RRcr 9494   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630   < clt 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  supxrcl  11515  supxrun  11516  supxrunb1  11520  supxrunb2  11521  supxrub  11525  supxrlub  11526  xrsupssd  27451  xrsclat  27541  itg2addnclem  30041
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