Theorem xrsupss 11623

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	|- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 11621	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A C_ RR \/ +oo e. A ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		ssdifss 3576	. . . 4 |- ( A C_ RR* -> ( A \ { -oo } ) C_ RR* )
3		ssxr 9729	. . . . . 6 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
4		df-3or 992	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
5		neldifsn 4112	. . . . . . . 8 |- -. -oo e. ( A \ { -oo } )
6	5	biorfi 413	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
7	4, 6	bitr4i 260	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
8	3, 7	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
9		xrsupsslem 11621	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* /\ ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
10	8, 9	mpdan 679	. . . 4 |- ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
11	2, 10	syl 17	. . 3 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
12		xrsupexmnf 11619	. . . 4 |- ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) )
13		snssi 4129	. . . . . 6 |- ( -oo e. A -> { -oo } C_ A )
14		undif 3860	. . . . . . . 8 |- ( { -oo } C_ A <-> ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A )
15		uncom 3590	. . . . . . . . 9 |- ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } )
16	15	eqeq1i 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
17	14, 16	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( { -oo } C_ A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
18		raleq 2999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y <-> A. y e. A -. x < y ) )
19		rexeq 3000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z <-> E. z e. A y < z ) )
20	19	imbi2d 322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
21	20	ralbidv 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
22	18, 21	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
23	17, 22	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( { -oo } C_ A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
24	13, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( -oo e. A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
25	24	rexbidv 2913	. . . 4 |- ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
26	12, 25	syl5ib 227	. . 3 |- ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
27	11, 26	mpan9 476	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
28		ssxr 9729	. . 3 |- ( A C_ RR* -> ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) )
29		df-3or 992	. . 3 |- ( ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
30	28, 29	sylib 201	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
31	1, 27, 30	mpjaodan 800	1 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   \/ w3o 990   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   \ cdif 3413   u. cun 3414   C_ wss 3416   {csn 3980   class class class wbr 4416   RRcr 9564   +oocpnf 9698   -oocmnf 9699   RR*cxr 9700   < clt 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889

This theorem is referenced by:  supxrcl  11629  supxrun  11630  supxrunb1  11634  supxrunb2  11635  supxrub  11639  supxrlub  11640  xrsupssd  28388  xrsclat  28491  itg2addnclem  32038