MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupss Structured version   Unicode version

Theorem xrsupss 11374
Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupss
StepHypRef Expression
1 xrsupsslem 11372 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssdifss 3587 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { -oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9547 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
4 df-3or 966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
5 neldifsn 4102 . . . . . . . 8  |-  -. -oo  e.  ( A  \  { -oo } )
65biorfi 407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  <->  ( (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) )  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
74, 6bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { -oo } ) )  <->  ( ( A  \  { -oo }
)  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A  \  { -oo } ) ) )
83, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )
9 xrsupsslem 11372 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { -oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { -oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
108, 9mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  \  { -oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
112, 10syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
12 xrsupexmnf 11370 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) ) )
13 snssi 4117 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  A  ->  { -oo } 
C_  A )
14 undif 3859 . . . . . . . 8  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A )
15 uncom 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo }
) )  =  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )
1615eqeq1i 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( { -oo }  u.  ( A  \  { -oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  =  A )
1714, 16bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( { -oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A )
18 raleq 3015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
19 rexeq 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2120ralbidv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo }
)  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2317, 22sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( { -oo }  C_  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } ) y  <  z
) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2413, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2524rexbidv 2848 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { -oo } )  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { -oo } )  u. 
{ -oo } ) y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2612, 25syl5ib 219 . . 3  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { -oo }
)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  \  { -oo } ) y  < 
z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
2711, 26mpan9 469 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
28 ssxr 9547 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
29 df-3or 966 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
311, 27, 30mpjaodan 784 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    \ cdif 3425    u. cun 3426    C_ wss 3428   {csn 3977   class class class wbr 4392   RRcr 9384   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    < clt 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701
This theorem is referenced by:  supxrcl  11380  supxrun  11381  supxrunb1  11385  supxrunb2  11386  supxrub  11390  supxrlub  11391  xrsupssd  26188  xrsclat  26277  itg2addnclem  28583
  Copyright terms: Public domain W3C validator