MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Structured version   Unicode version

Theorem xrsupexmnf 11579
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3603 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  { -oo } ) )
2 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -oo }  <->  y  = -oo )
4 nltmnf 11420 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
5 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
65notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  { -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  { -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 381 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  { -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 435 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2830 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3630 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  { -oo } ) )
1514anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2890 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 16 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2816 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 565 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2889 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    u. cun 3431   {csn 3993   class class class wbr 4417   -oocmnf 9662   RR*cxr 9663    < clt 9664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669
This theorem is referenced by:  xrsupss  11583
  Copyright terms: Public domain W3C validator