MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Structured version   Unicode version

Theorem xrsupexmnf 11497
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3645 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  { -oo } ) )
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 4041 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -oo }  <->  y  = -oo )
4 nltmnf 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
5 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
65notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  { -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  { -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 380 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  { -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 434 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  { -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2871 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3671 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  { -oo } ) )
1514anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2931 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 563 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2930 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  { -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  { -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    u. cun 3474   {csn 4027   class class class wbr 4447   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634
This theorem is referenced by:  xrsupss  11501
  Copyright terms: Public domain W3C validator