MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsup0 Structured version   Unicode version

Theorem xrsup0 11401
Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsup0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  <  )  = -oo

Proof of Theorem xrsup0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3777 . 2  |-  (/)  C_  RR*
2 mnfxr 11209 . 2  |- -oo  e.  RR*
3 ral0 3895 . 2  |-  A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y
4 rexr 9544 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5 nltmnf 11224 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y  < -oo )
76pm2.21d 106 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
87rgen 2899 . 2  |-  A. y  e.  RR  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )
9 supxr 11390 . 2  |-  ( ( ( (/)  C_  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  (/)  -. -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )  ->  sup ( (/)
,  RR* ,  <  )  = -oo )
101, 2, 3, 8, 9mp4an 673 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  <  )  = -oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   supcsup 7805   RRcr 9396   -oocmnf 9531   RR*cxr 9532    < clt 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713
This theorem is referenced by:  mdegcl  21683  mdeg0  21684
  Copyright terms: Public domain W3C validator