Theorem xrstos 26280

Description: The extended real numbers form a toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrstos	|- RR*s e. Toset

Proof of Theorem xrstos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 17951	. . 3 |- RR*s e. _V
2		xrleid 11233	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
3	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> x <_ x )
4		xrletri3 11235	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
5	4	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
6	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
7		xrletr 11238	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
8	7	3expa 1188	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
9	3, 6, 8	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) )
10	9	ralrimiva 2827	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) )
11	10	rgen2a 2894	. . 3 |- A. x e. RR* A. y e. RR* A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
12		xrsbas 17952	. . . 4 |- RR* = ( Base ` RR*s )
13		xrsle 17956	. . . 4 |- <_ = ( le ` RR*s )
14	12, 13	ispos 15231	. . 3 |- ( RR*s e. Poset <-> ( RR*s e. _V /\ A. x e. RR* A. y e. RR* A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) ) )
15	1, 11, 14	mpbir2an 911	. 2 |- RR*s e. Poset
16		xrletri 11234	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
17	16	rgen2a 2894	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
18	12, 13	istos 15319	. 2 |- ( RR*s e. Toset <-> ( RR*s e. Poset /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
19	15, 17, 18	mpbir2an 911	1 |- RR*s e. Toset

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395   RR*cxr 9523   <_ cle 9525   RR*scxrs 14552   Posetcpo 15224  Tosetctos 15317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-xrs 14554  df-poset 15230  df-toset 15318

This theorem is referenced by:  xrsclat  26281  xrsp0  26282  xrsp1  26283