Theorem xrstos 27329

Description: The extended real numbers form a toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrstos	|- RR*s e. Toset

Proof of Theorem xrstos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 18204	. . 3 |- RR*s e. _V
2		xrleid 11352	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
3	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> x <_ x )
4		xrletri3 11354	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
5	4	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
6	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
7		xrletr 11357	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
8	7	3expa 1196	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
9	3, 6, 8	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) )
10	9	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) )
11	10	rgen2a 2891	. . 3 |- A. x e. RR* A. y e. RR* A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
12		xrsbas 18205	. . . 4 |- RR* = ( Base ` RR*s )
13		xrsle 18209	. . . 4 |- <_ = ( le ` RR*s )
14	12, 13	ispos 15430	. . 3 |- ( RR*s e. Poset <-> ( RR*s e. _V /\ A. x e. RR* A. y e. RR* A. z e. RR* ( x <_ x /\ ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) ) ) )
15	1, 11, 14	mpbir2an 918	. 2 |- RR*s e. Poset
16		xrletri 11353	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
17	16	rgen2a 2891	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
18	12, 13	istos 15518	. 2 |- ( RR*s e. Toset <-> ( RR*s e. Poset /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
19	15, 17, 18	mpbir2an 918	1 |- RR*s e. Toset

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   RR*cxr 9623   <_ cle 9625   RR*scxrs 14751   Posetcpo 15423  Tosetctos 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-xrs 14753  df-poset 15429  df-toset 15517

This theorem is referenced by:  xrsclat  27330  xrsp0  27331  xrsp1  27332