Theorem xrstos 27999

Description: The extended real numbers form a toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrstos	|- RR*s e. Toset

Proof of Theorem xrstos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 18645	. . 3 |- RR*s e. _V
2		xrsbas 18646	. . 3 |- RR* = ( Base ` RR*s )
3		xrsle 18650	. . 3 |- <_ = ( le ` RR*s )
4		xrleid 11327	. . 3 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
5		xrletri3 11329	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
6	5	biimprd 223	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
7		xrletr 11332	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	isposi 15802	. 2 |- RR*s e. Poset
9		xrletri 11328	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
10	9	rgen2a 2830	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
11	2, 3	istos 15881	. 2 |- ( RR*s e. Toset <-> ( RR*s e. Poset /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
12	8, 10, 11	mpbir2an 921	1 |- RR*s e. Toset

Syntax hints:   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394   RR*cxr 9577   <_ cle 9579   RR*scxrs 15006   Posetcpo 15785  Tosetctos 15879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-xrs 15008  df-poset 15791  df-toset 15880

This theorem is referenced by:  xrsclat  28000  xrsp0  28001  xrsp1  28002