Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsp1 Structured version   Unicode version

Theorem xrsp1 28122
Description: The poset 1 of the extended real numbers is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsp1  |- +oo  =  ( 1. `  RR*s
)

Proof of Theorem xrsp1
StepHypRef Expression
1 xrsex 18753 . . 3  |-  RR*s 
e.  _V
2 xrsbas 18754 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( lub `  RR*s )  =  ( lub `  RR*s
)
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 1.
`  RR*s )  =  ( 1. `  RR*s
)
52, 3, 4p1val 15996 . . 3  |-  ( RR*s  e.  _V  ->  ( 1. `  RR*s
)  =  ( ( lub `  RR*s
) `  RR* ) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 1.
`  RR*s )  =  ( ( lub `  RR*s
) `  RR* )
7 ssid 3461 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
8 xrslt 28116 . . . 4  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
9 xrstos 28119 . . . . 5  |-  RR*s 
e. Toset
109a1i 11 . . . 4  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  RR*s  e. Toset )
11 id 22 . . . 4  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  RR*  C_  RR* )
122, 8, 10, 11toslub 28108 . . 3  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  ( ( lub `  RR*s ) `  RR* )  =  sup ( RR* ,  RR* ,  <  )
)
137, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( ( lub `  RR*s
) `  RR* )  =  sup ( RR* ,  RR* ,  <  )
14 xrsup 12033 . 2  |-  sup ( RR* ,  RR* ,  <  )  = +oo
156, 13, 143eqtrri 2436 1  |- +oo  =  ( 1. `  RR*s
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ` cfv 5569   supcsup 7934   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657    < clt 9658   RR*scxrs 15114   lubclub 15895  Tosetctos 15987   1.cp1 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-xrs 15116  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-toset 15988  df-p1 15994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator