Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsp0 Structured version   Unicode version

Theorem xrsp0 26307
Description: The poset 0 of the extended real numbers is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsp0  |- -oo  =  ( 0. `  RR*s
)

Proof of Theorem xrsp0
StepHypRef Expression
1 xrsex 17959 . . 3  |-  RR*s 
e.  _V
2 xrsbas 17960 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( glb `  RR*s )  =  ( glb `  RR*s
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0.
`  RR*s )  =  ( 0. `  RR*s
)
52, 3, 4p0val 15333 . . 3  |-  ( RR*s  e.  _V  ->  ( 0. `  RR*s
)  =  ( ( glb `  RR*s
) `  RR* ) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 0.
`  RR*s )  =  ( ( glb `  RR*s
) `  RR* )
7 ssid 3486 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
8 xrslt 26302 . . . 4  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
9 xrstos 26305 . . . . 5  |-  RR*s 
e. Toset
109a1i 11 . . . 4  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  RR*s  e. Toset )
11 id 22 . . . 4  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  RR*  C_  RR* )
122, 8, 10, 11tosglb 26296 . . 3  |-  ( RR*  C_ 
RR*  ->  ( ( glb `  RR*s ) `  RR* )  =  sup ( RR* ,  RR* ,  `'  <  ) )
137, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( ( glb `  RR*s
) `  RR* )  =  sup ( RR* ,  RR* ,  `'  <  )
14 xrinfm 26219 . 2  |-  sup ( RR* ,  RR* ,  `'  <  )  = -oo
156, 13, 143eqtrri 2488 1  |- -oo  =  ( 0. `  RR*s
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   `'ccnv 4950   ` cfv 5529   supcsup 7804   -oocmnf 9530   RR*cxr 9531    < clt 9532   RR*scxrs 14560   glbcglb 15235  Tosetctos 15325   0.cp0 15329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-xrs 14562  df-poset 15238  df-plt 15250  df-glb 15267  df-toset 15326  df-p0 15331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator