MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsnsgrp Structured version   Unicode version

Theorem xrsnsgrp 19004
Description: The (additive group of the) extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsnsgrp  |-  RR*s  e/ SGrp

Proof of Theorem xrsnsgrp
StepHypRef Expression
1 1re 9650 . . . 4  |-  1  e.  RR
21rexri 9701 . . 3  |-  1  e.  RR*
3 mnfxr 11422 . . 3  |- -oo  e.  RR*
4 pnfxr 11420 . . 3  |- +oo  e.  RR*
52, 3, 43pm3.2i 1183 . 2  |-  ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* 
/\ +oo  e.  RR* )
6 xaddcom 11539 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
1 +e -oo )  =  ( -oo +e 1 ) )
72, 3, 6mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( 1 +e -oo )  =  ( -oo +e 1 )
8 renepnf 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  =/= +oo )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =/= +oo
10 xaddmnf2 11530 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  1  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 1 )  = -oo )
112, 9, 10mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( -oo +e 1 )  = -oo
127, 11eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( 1 +e -oo )  = -oo
1312oveq1i 6316 . . . . 5  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =  ( -oo +e +oo )
14 mnfaddpnf 11532 . . . . 5  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
1513, 14eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =  0
16 0ne1 10685 . . . 4  |-  0  =/=  1
1715, 16eqnetri 2716 . . 3  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  1
1814oveq2i 6317 . . . 4  |-  ( 1 +e ( -oo +e +oo )
)  =  ( 1 +e 0 )
19 xaddid1 11540 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR*  ->  ( 1 +e 0 )  =  1 )
202, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1 +e 0 )  =  1
2118, 20eqtri 2451 . . 3  |-  ( 1 +e ( -oo +e +oo )
)  =  1
2217, 21neeqtrri 2719 . 2  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  ( 1 +e
( -oo +e +oo ) )
23 xrsbas 18984 . . 3  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
24 xrsadd 18985 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
2523, 24isnsgrp 16531 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  ( 1 +e ( -oo +e +oo ) )  ->  RR*s  e/ SGrp ) )
265, 22, 25mp2 9 1  |-  RR*s  e/ SGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    e/ wnel 2615  (class class class)co 6306   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548   +oocpnf 9680   -oocmnf 9681   RR*cxr 9682   +ecxad 11415   RR*scxrs 15398  SGrpcsgrp 16526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-xadd 11418  df-fz 11793  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-xrs 15400  df-sgrp 16527
This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  19005
  Copyright terms: Public domain W3C validator