MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsnsgrp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrsnsgrp 19081
Description: The (additive group of the) extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsnsgrp  |-  RR*s  e/ SGrp

Proof of Theorem xrsnsgrp
StepHypRef Expression
1 1re 9660 . . . 4  |-  1  e.  RR
21rexri 9711 . . 3  |-  1  e.  RR*
3 mnfxr 11437 . . 3  |- -oo  e.  RR*
4 pnfxr 11435 . . 3  |- +oo  e.  RR*
52, 3, 43pm3.2i 1208 . 2  |-  ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* 
/\ +oo  e.  RR* )
6 xaddcom 11555 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
1 +e -oo )  =  ( -oo +e 1 ) )
72, 3, 6mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( 1 +e -oo )  =  ( -oo +e 1 )
8 renepnf 9706 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  =/= +oo )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =/= +oo
10 xaddmnf2 11545 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  1  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 1 )  = -oo )
112, 9, 10mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( -oo +e 1 )  = -oo
127, 11eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( 1 +e -oo )  = -oo
1312oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =  ( -oo +e +oo )
14 mnfaddpnf 11547 . . . . 5  |-  ( -oo +e +oo )  =  0
1513, 14eqtri 2493 . . . 4  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =  0
16 0ne1 10699 . . . 4  |-  0  =/=  1
1715, 16eqnetri 2713 . . 3  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  1
1814oveq2i 6319 . . . 4  |-  ( 1 +e ( -oo +e +oo )
)  =  ( 1 +e 0 )
19 xaddid1 11556 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR*  ->  ( 1 +e 0 )  =  1 )
202, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1 +e 0 )  =  1
2118, 20eqtri 2493 . . 3  |-  ( 1 +e ( -oo +e +oo )
)  =  1
2217, 21neeqtrri 2716 . 2  |-  ( ( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  ( 1 +e
( -oo +e +oo ) )
23 xrsbas 19061 . . 3  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
24 xrsadd 19062 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
2523, 24isnsgrp 16609 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
( 1 +e -oo ) +e +oo )  =/=  ( 1 +e ( -oo +e +oo ) )  ->  RR*s  e/ SGrp ) )
265, 22, 25mp2 9 1  |-  RR*s  e/ SGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   +ecxad 11430   RR*scxrs 15476  SGrpcsgrp 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-xrs 15478  df-sgrp 16605
This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  19082
  Copyright terms: Public domain W3C validator