MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmopn 21816
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on  RR*; for example  { +oo } is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
xrsmopn.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
xrsmopn  |-  (ordTop `  <_  )  C_  J

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables  x  r  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4245 . . . 4  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  C_  U. (ordTop ` 
<_  ) )
2 letopuni 20209 . . . 4  |-  RR*  =  U. (ordTop `  <_  )
31, 2syl6sseqr 3511 . . 3  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  C_  RR* )
4 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
54rexmet 21795 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR ) )
7 letop 20208 . . . . . . . . 9  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
8 reex 9630 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
9 elrestr 15314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  _V  /\  x  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
107, 8, 9mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  ( x  i^i 
RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
1110ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
12 elin 3649 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  RR ) )
1312biimpri 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  ( x  i^i  RR ) )
1413adantll 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  ( x  i^i  RR ) )
15 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1615xrtgioo 21810 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
17 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
184, 17tgioo 21800 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1916, 18eqtr3i 2453 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
2019mopni2 21494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  (
x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  /\  y  e.  ( x  i^i  RR ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR ) )
216, 11, 14, 20syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR ) )
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
2322xrsxmet 21813 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  ( *Met `  RR* )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  RR* )
)
25 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
26 ressxr 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
27 dfss1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR  C_  RR*  <->  ( RR*  i^i  RR )  =  RR )
2826, 27mpbi 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR*  i^i 
RR )  =  RR
2925, 28syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
RR*  i^i  RR )
)
30 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3130adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
3222xrsdsre 21814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3332eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( D  |`  ( RR  X.  RR ) )
3433blres 21432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR* )  /\  y  e.  ( RR*  i^i  RR )  /\  r  e.  RR* )  -> 
( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y (
ball `  D )
r )  i^i  RR ) )
3524, 29, 31, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y ( ball `  D
) r )  i^i 
RR ) )
3622xrsblre 21815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR* )  -> 
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  RR )
3730, 36sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  RR )
3837adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  C_  RR )
39 df-ss 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  RR 
<->  ( ( y (
ball `  D )
r )  i^i  RR )  =  ( y
( ball `  D )
r ) )
4038, 39sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  i^i 
RR )  =  ( y ( ball `  D
) r ) )
4135, 40eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( y ( ball `  D
) r ) )
4241sseq1d 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  <->  ( y
( ball `  D )
r )  C_  (
x  i^i  RR )
) )
43 inss1 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  RR )  C_  x
44 sstr 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  ( x  i^i 
RR )  /\  (
x  i^i  RR )  C_  x )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x )
4543, 44mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
4642, 45syl6bi 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x ) )
4746reximdva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) )
4821, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
49 1rp 11306 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  D  e.  ( *Met `  RR* )
)
513sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  RR* )
5251adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
53 rpxr 11309 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
5449, 53mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR* )
55 elbl 21389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) ) )
57 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  -.  y  e.  RR )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  D  e.  ( *Met `  RR* ) )
59513ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  y  e.  RR* )
6059adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  e.  RR* )
61 simpl3l 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  z  e.  RR* )
62 xmetcl 21332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
y D z )  e.  RR* )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  e.  RR* )
64 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  1  e.  RR )
65 xmetge0 21345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  0  <_  ( y D z ) )
6658, 60, 61, 65syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  0  <_  ( y D z ) )
67 simpl3r 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  <  1 )
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR*
69 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y D z )  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( y D z )  <  1  -> 
( y D z )  <_  1 ) )
7063, 68, 69sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  <  1  -> 
( y D z )  <_  1 ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  <_  1 )
72 xrrege0 11469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y D z )  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( y D z )  /\  ( y D z )  <_ 
1 ) )  -> 
( y D z )  e.  RR )
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  e.  RR )
74 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  =/=  z )
7522xrsdsreclb 19002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  e.  RR  <->  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) ) )
7660, 61, 74, 75syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  e.  RR  <->  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) ) )
7773, 76mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)
7877simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  e.  RR )
7978ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( y  =/=  z  ->  y  e.  RR ) )
8079necon1bd 2642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( -.  y  e.  RR  ->  y  =  z ) )
81 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  y  e.  x
)
82 elequ1 1871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  x ) )
8381, 82syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( y  =  z  ->  z  e.  x ) )
8480, 83syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( -.  y  e.  RR  ->  z  e.  x ) )
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  z  e.  x
)
86853expia 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( y D z )  <  1 )  ->  z  e.  x ) )
8756, 86sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  -> 
z  e.  x ) )
8887ssrdv 3470 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  D ) 1 ) 
C_  x )
89 oveq2 6309 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) 1 ) )
9089sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( r  =  1  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( y
( ball `  D )
1 )  C_  x
) )
9190rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  D
) 1 )  C_  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
9249, 88, 91sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x )
9348, 92pm2.61dan 798 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
9493ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x )
95 xrsmopn.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
9695elmopn2 21446 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
RR* )  ->  (
x  e.  J  <->  ( x  C_ 
RR*  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
9723, 96ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  C_ 
RR*  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) )
983, 94, 97sylanbrc 668 . 2  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  e.  J
)
9998ssriv 3468 1  |-  (ordTop `  <_  )  C_  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    X. cxp 4847   ran crn 4850    |` cres 4851    o. ccom 4853   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13285   distcds 15186   ↾t crest 15306   topGenctg 15323  ordTopcordt 15384   RR*scxrs 15385   *Metcxmt 18942   ballcbl 18944   MetOpencmopn 18947   Topctop 19903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-ec 7369  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-ordt 15386  df-xrs 15387  df-ps 16433  df-tsr 16434  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909
This theorem is referenced by:  xmetdcn  21842
  Copyright terms: Public domain W3C validator