MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Unicode version
Theorem xrsmopn 21080
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on RR*; for example { +oo } is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 |- D = ( dist ` RR*s )
xrsmopn.1 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
xrsmopn |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables x r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4275 . . . 4 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ U. (ordTop ` <_ ) )
2 letopuni 19502 . . . 4 |- RR* = U. (ordTop ` <_ )
31, 2syl6sseqr 3551 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ RR* )
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
54rexmet 21059 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
65a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) )
7 letop 19501 . . . . . . . . 9 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
8 reex 9583 . . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9 elrestr 14684 . . . . . . . . 9 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. _V /\ x e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
107, 8, 9mp3an12 1314 . . . . . . . 8 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
12 elin 3687 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( x i^i RR ) <-> ( y e. x /\ y e. RR ) )
1312biimpri 206 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
1413adantll 713 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
15 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
1615xrtgioo 21074 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
184, 17tgioo 21064 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
1916, 18eqtr3i 2498 . . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
2019mopni2 20759 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) /\ y e. ( x i^i RR ) ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
216, 11, 14, 20syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( dist ` RR*s )
2322xrsxmet 21077 . . . . . . . . . . . 12 |- D e. ( *Met ` RR* )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
25 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. RR )
26 ressxr 9637 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
27 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR C_ RR* <-> ( RR* i^i RR ) = RR )
2826, 27mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( RR* i^i RR ) = RR
2925, 28syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( RR* i^i RR ) )
30 rpxr 11227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
3222xrsdsre 21078 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
3332eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( D |` ( RR X. RR ) )
3433blres 20697 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. ( RR* i^i RR ) /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3524, 29, 31, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3622xrsblre 21079 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3730, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3837adantll 713 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
39 df-ss 3490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR <-> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4135, 40eqtrd 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4241sseq1d 3531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) <-> ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) ) )
43 inss1 3718 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i RR ) C_ x
44 sstr 3512 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) /\ ( x i^i RR ) C_ x ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . 8 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4642, 45syl6bi 228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4746reximdva 2938 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4821, 47mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
49 1rp 11224 . . . . . 6 |- 1 e. RR+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
513sselda 3504 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> y e. RR* )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> y e. RR* )
53 rpxr 11227 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
5449, 53mp1i 12 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> 1 e. RR* )
55 elbl 20654 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
57 simp2 997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> -. y e. RR )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
59513ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. RR* )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR* )
61 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> z e. RR* )
62 xmetcl 20597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( y D z ) e. RR* )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR* )
64 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 1 e. RR )
65 xmetge0 20610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> 0 <_ ( y D z ) )
6658, 60, 61, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 0 <_ ( y D z ) )
67 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) < 1 )
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR*
69 xrltle 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7063, 68, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) <_ 1 )
72 xrrege0 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( y D z ) /\ ( y D z ) <_ 1 ) ) -> ( y D z ) e. RR )
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y =/= z )
7522xrsdsreclb 18261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR* /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7660, 61, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7773, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR ) )
7877simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y =/= z -> y e. RR ) )
8079necon1bd 2685 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> y = z ) )
81 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. x )
82 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) )
8381, 82syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y = z -> z e. x ) )
8480, 83syld 44 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> z e. x ) )
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> z e. x )
86853expia 1198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) -> z e. x ) )
8756, 86sylbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) -> z e. x ) )
8887ssrdv 3510 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x )
89 oveq2 6292 . . . . . . . 8 |- ( r = 1 -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) 1 ) )
9089sseq1d 3531 . . . . . . 7 |- ( r = 1 -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) )
9190rspcev 3214 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9249, 88, 91sylancr 663 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9348, 92pm2.61dan 789 . . . 4 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9493ralrimiva 2878 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
95 xrsmopn.1 . . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
9695elmopn2 20711 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` RR* ) -> ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
9723, 96ax-mp 5 . . 3 |- ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
983, 94, 97sylanbrc 664 . 2 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x e. J )
9998ssriv 3508 1 |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   ran crn 5000   |` cres 5001   o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   RR*cxr 9627   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   abscabs 13030   distcds 14564   ↾t crest 14676   topGenctg 14693  ordTopcordt 14754   RR*scxrs 14755   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207   Topctop 19189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  xmetdcn  21106
  Copyright terms: Public domain W3C validator