MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Unicode version
Theorem xrsmopn 21443
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on RR*; for example { +oo } is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 |- D = ( dist ` RR*s )
xrsmopn.1 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
xrsmopn |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables x r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4281 . . . 4 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ U. (ordTop ` <_ ) )
2 letopuni 19835 . . . 4 |- RR* = U. (ordTop ` <_ )
31, 2syl6sseqr 3546 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ RR* )
4 eqid 2457 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
54rexmet 21422 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
65a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) )
7 letop 19834 . . . . . . . . 9 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
8 reex 9600 . . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9 elrestr 14846 . . . . . . . . 9 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. _V /\ x e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
107, 8, 9mp3an12 1314 . . . . . . . 8 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
12 elin 3683 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( x i^i RR ) <-> ( y e. x /\ y e. RR ) )
1312biimpri 206 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
1413adantll 713 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
15 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
1615xrtgioo 21437 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
17 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
184, 17tgioo 21427 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
1916, 18eqtr3i 2488 . . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
2019mopni2 21122 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) /\ y e. ( x i^i RR ) ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
216, 11, 14, 20syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( dist ` RR*s )
2322xrsxmet 21440 . . . . . . . . . . . 12 |- D e. ( *Met ` RR* )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
25 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. RR )
26 ressxr 9654 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
27 dfss1 3699 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR C_ RR* <-> ( RR* i^i RR ) = RR )
2826, 27mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( RR* i^i RR ) = RR
2925, 28syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( RR* i^i RR ) )
30 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
3222xrsdsre 21441 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
3332eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( D |` ( RR X. RR ) )
3433blres 21060 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. ( RR* i^i RR ) /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3524, 29, 31, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3622xrsblre 21442 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3730, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3837adantll 713 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
39 df-ss 3485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR <-> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4135, 40eqtrd 2498 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4241sseq1d 3526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) <-> ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) ) )
43 inss1 3714 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i RR ) C_ x
44 sstr 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) /\ ( x i^i RR ) C_ x ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . 8 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4642, 45syl6bi 228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4746reximdva 2932 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4821, 47mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
49 1rp 11249 . . . . . 6 |- 1 e. RR+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
513sselda 3499 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> y e. RR* )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> y e. RR* )
53 rpxr 11252 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
5449, 53mp1i 12 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> 1 e. RR* )
55 elbl 21017 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
57 simp2 997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> -. y e. RR )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
59513ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. RR* )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR* )
61 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> z e. RR* )
62 xmetcl 20960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( y D z ) e. RR* )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR* )
64 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 1 e. RR )
65 xmetge0 20973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> 0 <_ ( y D z ) )
6658, 60, 61, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 0 <_ ( y D z ) )
67 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) < 1 )
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR*
69 xrltle 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7063, 68, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) <_ 1 )
72 xrrege0 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( y D z ) /\ ( y D z ) <_ 1 ) ) -> ( y D z ) e. RR )
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y =/= z )
7522xrsdsreclb 18592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR* /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7660, 61, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7773, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR ) )
7877simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y =/= z -> y e. RR ) )
8079necon1bd 2675 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> y = z ) )
81 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. x )
82 elequ1 1822 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) )
8381, 82syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y = z -> z e. x ) )
8480, 83syld 44 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> z e. x ) )
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> z e. x )
86853expia 1198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) -> z e. x ) )
8756, 86sylbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) -> z e. x ) )
8887ssrdv 3505 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x )
89 oveq2 6304 . . . . . . . 8 |- ( r = 1 -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) 1 ) )
9089sseq1d 3526 . . . . . . 7 |- ( r = 1 -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) )
9190rspcev 3210 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9249, 88, 91sylancr 663 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9348, 92pm2.61dan 791 . . . 4 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9493ralrimiva 2871 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
95 xrsmopn.1 . . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
9695elmopn2 21074 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` RR* ) -> ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
9723, 96ax-mp 5 . . 3 |- ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
983, 94, 97sylanbrc 664 . 2 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x e. J )
9998ssriv 3503 1 |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   ran crn 5009   |` cres 5010   o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   abscabs 13079   distcds 14721   ↾t crest 14838   topGenctg 14855  ordTopcordt 14916   RR*scxrs 14917   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529
This theorem is referenced by:  xmetdcn  21469
  Copyright terms: Public domain W3C validator