Theorem xrsmcmn 18636

Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrsmgmdifsgrp 18650.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	|- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . . 5 |- (mulGrp ` RR*s ) = (mulGrp ` RR*s )
2		xrsbas 18629	. . . . 5 |- RR* = ( Base ` RR*s )
3	1, 2	mgpbas 17342	. . . 4 |- RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
5		xrsmul 18631	. . . . 5 |- xe = ( .r ` RR*s )
6	1, 5	mgpplusg 17340	. . . 4 |- xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
8		xmulcl 11468	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
9	8	3adant1 1012	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
10		xmulass 11482	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
11	10	adantl 464	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
12		1re 9584	. . . . 5 |- 1 e. RR
13		rexr 9628	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
14	12, 13	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. RR* )
15		xmulid2 11475	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( 1 xe x ) = x )
16	15	adantl 464	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( 1 xe x ) = x )
17		xmulid1 11474	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x xe 1 ) = x )
18	17	adantl 464	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( x xe 1 ) = x )
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 16142	. . 3 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. Mnd )
20		xmulcom 11461	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
21	20	3adant1 1012	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 17009	. 2 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd )
23	22	trud 1407	1 |- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Syntax hints:   /\ w3a 971   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616   xecxmu 11320   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   RR*scxrs 14989  CMndccmn 16997  mulGrpcmgp 17336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-xneg 11321  df-xmul 11323  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-xrs 14991  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cmn 16999  df-mgp 17337

This theorem is referenced by: (None)