MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmcmn 17683
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 17695.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . 5  |-  (mulGrp `  RR*s )  =  (mulGrp `  RR*s )
2 xrsbas 17676 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
31, 2mgpbas 16571 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s
) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
5 xrsmul 17678 . . . . 5  |-  xe  =  ( .r `  RR*s )
61, 5mgpplusg 16569 . . . 4  |-  xe  =  ( +g  `  (mulGrp ` 
RR*s ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  xe  =  ( +g  `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
8 xmulcl 11224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  e.  RR* )
983adant1 999 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  e.  RR* )
10 xmulass 11238 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
1110adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
12 1re 9373 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 9417 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR* )
15 xmulid2 11231 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 1 xe x )  =  x )
1615adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
1 xe x )  =  x )
17 xmulid1 11230 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x xe 1 )  =  x )
1817adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x xe 1 )  =  x )
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 15427 . . 3  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e.  Mnd )
20 xmulcom 11217 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  =  ( y xe x ) )
21203adant1 999 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  =  ( y xe x ) )
224, 7, 19, 21iscmnd 16269 . 2  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd )
2322trud 1371 1  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 958    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   1c1 9271   RR*cxr 9405   xecxmu 11076   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   RR*scxrs 14421  CMndccmn 16257  mulGrpcmgp 16565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-xneg 11077  df-xmul 11079  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-xrs 14423  df-mnd 15398  df-cmn 16259  df-mgp 16566
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator