Theorem xrsmcmn 17814

Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 17826.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	|- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2438	. . . . 5 |- (mulGrp ` RR*s ) = (mulGrp ` RR*s )
2		xrsbas 17807	. . . . 5 |- RR* = ( Base ` RR*s )
3	1, 2	mgpbas 16585	. . . 4 |- RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
5		xrsmul 17809	. . . . 5 |- xe = ( .r ` RR*s )
6	1, 5	mgpplusg 16583	. . . 4 |- xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> xe = ( +g ` (mulGrp ` RR*s ) ) )
8		xmulcl 11228	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
9	8	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) e. RR* )
10		xmulass 11242	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
11	10	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) ) -> ( ( x xe y ) xe z ) = ( x xe ( y xe z ) ) )
12		1re 9377	. . . . 5 |- 1 e. RR
13		rexr 9421	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
14	12, 13	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. RR* )
15		xmulid2 11235	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( 1 xe x ) = x )
16	15	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( 1 xe x ) = x )
17		xmulid1 11234	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x xe 1 ) = x )
18	17	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( x xe 1 ) = x )
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 15436	. . 3 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. Mnd )
20		xmulcom 11221	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
21	20	3adant1 1006	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x xe y ) = ( y xe x ) )
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 16280	. 2 |- ( T. -> (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd )
23	22	trud 1378	1 |- (mulGrp ` RR*s ) e. CMnd

Syntax hints:   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275   RR*cxr 9409   xecxmu 11080   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   RR*scxrs 14430  CMndccmn 16268  mulGrpcmgp 16579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-xneg 11081  df-xmul 11083  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-xrs 14432  df-mnd 15407  df-cmn 16270  df-mgp 16580

This theorem is referenced by: (None)