MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Unicode version

Theorem xrsmcmn 16679
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 16691.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn  |-  (mulGrp `  RR* s )  e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  (mulGrp `  RR* s )  =  (mulGrp `  RR* s )
2 xrsbas 16672 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR* s )
31, 2mgpbas 15609 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR* s
) )
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR* s ) ) )
5 xrsmul 16674 . . . . 5  |-  x e  =  ( .r `  RR* s )
61, 5mgpplusg 15607 . . . 4  |-  x e  =  ( +g  `  (mulGrp ` 
RR* s ) )
76a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  x e  =  ( +g  `  (mulGrp `  RR* s ) ) )
8 xmulcl 10808 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x x e y )  e.  RR* )
983adant1 975 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x x e y )  e. 
RR* )
10 xmulass 10822 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x x e y ) x e z )  =  ( x x e ( y x e z ) ) )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x x e y ) x e z )  =  ( x x e ( y x e z ) ) )
12 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 9086 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR* )
15 xmulid2 10815 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 1 x e x )  =  x )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
1 x e x )  =  x )
17 xmulid1 10814 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x x e 1 )  =  x )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x x e 1 )  =  x )
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 14674 . . 3  |-  (  T. 
->  (mulGrp `  RR* s )  e.  Mnd )
20 xmulcom 10801 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x x e y )  =  ( y x e x ) )
21203adant1 975 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x x e y )  =  ( y x e x ) )
224, 7, 19, 21iscmnd 15379 . 2  |-  (  T. 
->  (mulGrp `  RR* s )  e. CMnd )
2322trud 1329 1  |-  (mulGrp `  RR* s )  e. CMnd
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   RR*cxr 9075   x ecxmu 10665   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   RR* scxrs 13677  CMndccmn 15367  mulGrpcmgp 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-xneg 10666  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-xrs 13681  df-mnd 14645  df-cmn 15369  df-mgp 15604
  Copyright terms: Public domain W3C validator