MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmcmn 18636
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrsmgmdifsgrp 18650.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  RR*s )  =  (mulGrp `  RR*s )
2 xrsbas 18629 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
31, 2mgpbas 17342 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s
) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
5 xrsmul 18631 . . . . 5  |-  xe  =  ( .r `  RR*s )
61, 5mgpplusg 17340 . . . 4  |-  xe  =  ( +g  `  (mulGrp ` 
RR*s ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  xe  =  ( +g  `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
8 xmulcl 11468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  e.  RR* )
983adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  e.  RR* )
10 xmulass 11482 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
12 1re 9584 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 9628 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR* )
15 xmulid2 11475 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 1 xe x )  =  x )
1615adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
1 xe x )  =  x )
17 xmulid1 11474 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x xe 1 )  =  x )
1817adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x xe 1 )  =  x )
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 16142 . . 3  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e.  Mnd )
20 xmulcom 11461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  =  ( y xe x ) )
21203adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  =  ( y xe x ) )
224, 7, 19, 21iscmnd 17009 . 2  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd )
2322trud 1407 1  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616   xecxmu 11320   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   RR*scxrs 14989  CMndccmn 16997  mulGrpcmgp 17336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-xneg 11321  df-xmul 11323  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-xrs 14991  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cmn 16999  df-mgp 17337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator