Theorem xrsmcmn 16679

Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 16691.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	|- (mulGrp ` RR* s ) e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . . . 5 |- (mulGrp ` RR* s ) = (mulGrp ` RR* s )
2		xrsbas 16672	. . . . 5 |- RR* = ( Base ` RR* s )
3	1, 2	mgpbas 15609	. . . 4 |- RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR* s ) )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> RR* = ( Base ` (mulGrp ` RR* s ) ) )
5		xrsmul 16674	. . . . 5 |- x e = ( .r ` RR* s )
6	1, 5	mgpplusg 15607	. . . 4 |- x e = ( +g ` (mulGrp ` RR* s ) )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> x e = ( +g ` (mulGrp ` RR* s ) ) )
8		xmulcl 10808	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x x e y ) e. RR* )
9	8	3adant1 975	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x x e y ) e. RR* )
10		xmulass 10822	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x x e y ) x e z ) = ( x x e ( y x e z ) ) )
11	10	adantl 453	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) ) -> ( ( x x e y ) x e z ) = ( x x e ( y x e z ) ) )
12		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
13		rexr 9086	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
14	12, 13	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. RR* )
15		xmulid2 10815	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( 1 x e x ) = x )
16	15	adantl 453	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( 1 x e x ) = x )
17		xmulid1 10814	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x x e 1 ) = x )
18	17	adantl 453	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR* ) -> ( x x e 1 ) = x )
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 14674	. . 3 |- ( T. -> (mulGrp ` RR* s ) e. Mnd )
20		xmulcom 10801	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x x e y ) = ( y x e x ) )
21	20	3adant1 975	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x x e y ) = ( y x e x ) )
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 15379	. 2 |- ( T. -> (mulGrp ` RR* s ) e. CMnd )
23	22	trud 1329	1 |- (mulGrp ` RR* s ) e. CMnd

Syntax hints:   /\ w3a 936   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   RR*cxr 9075   x ecxmu 10665   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   RR* scxrs 13677  CMndccmn 15367  mulGrpcmgp 15603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-xneg 10666  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-xrs 13681  df-mnd 14645  df-cmn 15369  df-mgp 15604