MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmcmn 17814
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 17826.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  (mulGrp `  RR*s )  =  (mulGrp `  RR*s )
2 xrsbas 17807 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
31, 2mgpbas 16585 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s
) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
5 xrsmul 17809 . . . . 5  |-  xe  =  ( .r `  RR*s )
61, 5mgpplusg 16583 . . . 4  |-  xe  =  ( +g  `  (mulGrp ` 
RR*s ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  xe  =  ( +g  `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
8 xmulcl 11228 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  e.  RR* )
983adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  e.  RR* )
10 xmulass 11242 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
12 1re 9377 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 9421 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR* )
15 xmulid2 11235 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 1 xe x )  =  x )
1615adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
1 xe x )  =  x )
17 xmulid1 11234 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x xe 1 )  =  x )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x xe 1 )  =  x )
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 15436 . . 3  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e.  Mnd )
20 xmulcom 11221 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  =  ( y xe x ) )
21203adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  =  ( y xe x ) )
224, 7, 19, 21iscmnd 16280 . 2  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd )
2322trud 1378 1  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275   RR*cxr 9409   xecxmu 11080   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   RR*scxrs 14430  CMndccmn 16268  mulGrpcmgp 16579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-xneg 11081  df-xmul 11083  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-xrs 14432  df-mnd 15407  df-cmn 16270  df-mgp 16580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator