MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmcmn 17965
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 17977.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  RR*s )  =  (mulGrp `  RR*s )
2 xrsbas 17958 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
31, 2mgpbas 16720 . . . 4  |-  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s
) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR*  =  ( Base `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
5 xrsmul 17960 . . . . 5  |-  xe  =  ( .r `  RR*s )
61, 5mgpplusg 16718 . . . 4  |-  xe  =  ( +g  `  (mulGrp ` 
RR*s ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  xe  =  ( +g  `  (mulGrp `  RR*s ) ) )
8 xmulcl 11348 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  e.  RR* )
983adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  e.  RR* )
10 xmulass 11362 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x xe y ) xe z )  =  ( x xe ( y xe z ) ) )
12 1re 9497 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 9541 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR* )
15 xmulid2 11355 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 1 xe x )  =  x )
1615adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
1 xe x )  =  x )
17 xmulid1 11354 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x xe 1 )  =  x )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x xe 1 )  =  x )
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 15564 . . 3  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e.  Mnd )
20 xmulcom 11341 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x xe y )  =  ( y xe x ) )
21203adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x xe y )  =  ( y xe x ) )
224, 7, 19, 21iscmnd 16411 . 2  |-  ( T. 
->  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd )
2322trud 1379 1  |-  (mulGrp `  RR*s )  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   1c1 9395   RR*cxr 9529   xecxmu 11200   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   RR*scxrs 14558  CMndccmn 16399  mulGrpcmgp 16714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-xneg 11201  df-xmul 11203  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-xrs 14560  df-mnd 15535  df-cmn 16401  df-mgp 16715
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator