MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsex Structured version   Unicode version

Theorem xrsex 18197
Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsex  |-  RR*s 
e.  _V

Proof of Theorem xrsex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-xrs 14746 . 2  |-  RR*s 
=  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )
2 tpex 6574 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  e.  _V
3 tpex 6574 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. }  e.  _V
42, 3unex 6573 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )  e. 
_V
51, 4eqeltri 2544 1  |-  RR*s 
e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    u. cun 3467   ifcif 3932   {ctp 4024   <.cop 4026   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    -ecxne 11304   +ecxad 11305   xecxmu 11306   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  TopSetcts 14550   lecple 14551   distcds 14553  ordTopcordt 14743   RR*scxrs 14744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-rex 2813  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-nul 3779  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-uni 4239  df-xrs 14746
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  20604  xrslt  27312  xrsmulgzz  27314  xrstos  27315  xrsp0  27317  xrsp1  27318  pnfinf  27375  xrnarchi  27376
  Copyright terms: Public domain W3C validator