MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsex Structured version   Unicode version

Theorem xrsex 18751
Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsex  |-  RR*s 
e.  _V

Proof of Theorem xrsex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-xrs 15114 . 2  |-  RR*s 
=  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )
2 tpex 6580 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  e.  _V
3 tpex 6580 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. }  e.  _V
42, 3unex 6579 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )  e. 
_V
51, 4eqeltri 2486 1  |-  RR*s 
e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411   ifcif 3884   {ctp 3975   <.cop 3977   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   RR*cxr 9656    <_ cle 9658    -ecxne 11367   +ecxad 11368   xecxmu 11369   ndxcnx 14836   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  TopSetcts 14913   lecple 14914   distcds 14916  ordTopcordt 15111   RR*scxrs 15112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rex 2759  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-nul 3738  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-uni 4191  df-xrs 15114
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  21166  xrslt  28102  xrsmulgzz  28104  xrstos  28105  xrsp0  28107  xrsp1  28108  pnfinf  28165  xrnarchi  28166
  Copyright terms: Public domain W3C validator