MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsval Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsval 17992
Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsval  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )

Proof of Theorem xrsdsval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq12 4408 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <_  y  <->  A  <_  B ) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
3 xnegeq 11292 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  -e
x  =  -e
A )
42, 3oveqan12rd 6223 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( y +e  -e x )  =  ( B +e  -e A ) )
5 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
6 xnegeq 11292 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  -e
y  =  -e
B )
75, 6oveqan12d 6222 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x +e  -e y )  =  ( A +e  -e B ) )
81, 4, 7ifbieq12d 3927 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) ) )
9 xrsds.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
109xrsds 17991 . 2  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
11 ovex 6228 . . 3  |-  ( B +e  -e
A )  e.  _V
12 ovex 6228 . . 3  |-  ( A +e  -e
B )  e.  _V
1311, 12ifex 3969 . 2  |-  if ( A  <_  B , 
( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  _V
148, 10, 13ovmpt2a 6334 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RR*cxr 9532    <_ cle 9534    -ecxne 11201   +ecxad 11202   distcds 14370   RR*scxrs 14561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-xrs 14563
This theorem is referenced by:  xrsdsreval  17993  xrsdsreclb  17995  xmetrtri2  20073  xrsxmet  20528  metdscn  20574
  Copyright terms: Public domain W3C validator