MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsval Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsval 18674
Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsval  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )

Proof of Theorem xrsdsval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq12 4399 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <_  y  <->  A  <_  B ) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
3 xnegeq 11377 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  -e
x  =  -e
A )
42, 3oveqan12rd 6254 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( y +e  -e x )  =  ( B +e  -e A ) )
5 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
6 xnegeq 11377 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  -e
y  =  -e
B )
75, 6oveqan12d 6253 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x +e  -e y )  =  ( A +e  -e B ) )
81, 4, 7ifbieq12d 3911 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) ) )
9 xrsds.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
109xrsds 18673 . 2  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
11 ovex 6262 . . 3  |-  ( B +e  -e
A )  e.  _V
12 ovex 6262 . . 3  |-  ( A +e  -e
B )  e.  _V
1311, 12ifex 3952 . 2  |-  if ( A  <_  B , 
( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  _V
148, 10, 13ovmpt2a 6370 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3884   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RR*cxr 9577    <_ cle 9579    -ecxne 11286   +ecxad 11287   distcds 14810   RR*scxrs 15006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-xrs 15008
This theorem is referenced by:  xrsdsreval  18675  xrsdsreclb  18677  xmetrtri2  21043  xrsxmet  21498  metdscn  21544
  Copyright terms: Public domain W3C validator